-一元二次方程地整数根

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1、实用文档第6讲一元二次方程的整数根精巧的论证常常不是一蹴而就的，而是人们长期切磋积累的成果。我也是慢慢学来的，而且还要继续不断的学习。-----阿贝尔知识方法扫描1．当含有某个参数k的一元二次方程的左边比较容易分解成两个一次因式的积时，我们可以先利用因式分解直接求方程的解，通常它们是关于k的分式形式的解。然后利用其根是整数的要求来解不定方程。此时因参数k的条件不同，常有两种处理方法。其一是k为整数，这时只需注意分式形式的解中，分子是分母的倍数即可；其二是k为实数，此时应该消去参数k，得到关于两根的关系式，也就是关于两根的不定方程，再解此不

2、定方程即可。2．我们知道一元二次方程ax2＋bx＋c＝0在△＝b2－4ac≥0时有实数根x＝。所以要使整系数的一元二次方程方程有整数根，必须△＝b2－4ac为完全平方数，并且－b±为2a的整数倍.故处理此类问题，常可用判别式来解决。又可细分为两类：（1）先求参数范围。可利用题设参数的范围，直接求解；也可由不等式△≥0求出参数的范围.再求解。（2）再设参数法，即设△＝k2（k是整数）。当△＝k2为关于原参数的一次式时，用代入法来解；当△＝k2为关于原参数的二次式时，用分解因式法来解.此外，对有理系数的二次方程有有理根的问题，上述解法也是适用

3、的。3．韦达定理即根与系数的关系是一元二次方程的重要性质，我们也常用它来处理含参数的一元二次方程的整数解得问题，常用的方法有：（1）从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程.（2）利用“当两根为整数时，其和、积必为整数”来解。4．在含有参数的一元二次方程中，参数和未知数都是用字母表示的，通常是将未知数看作是主元必要时也可反过来将参数看成是主元，即将方程看成是以参数为未知数的方程，这种方法就是变更主元法。（1）当方程中参数的次数为一次时，可将参数直接用未知数表示出来，再利用已知参数的范围或性质来求解。（2）当方程中参数的次数为二

4、次时，可考虑以参数为主元构造一个二次方程，再运用前述的方法（如利用判别式，韦达定理）来处理。经典例题解析例1．(1995年山东省初中数学竞赛试题)k为什么整数时，方程(6－k)(9－k)x2－(117－15k)x＋54＝0的解都是整数？分析此方程的系数均为整数，而且方程的左边可以直接分解成两个整系数的一次因式，故可考虑直接求根来解答此题。另外此题的条件中并未说明方程是一元二次方程，故还应考虑二次项系数为0，原方程是一次方程的情况。解若k=6,则x=-2;若k=9,则x=3；标准文案实用文档若k≠6且k≠9，原方程可化为[(k-6)x-9]

5、[(k-9)x-6]=0,故方程的二根为x1＝，x2＝.为使x1和x2都是整数，则应有k-6=±1,±3,±9，k=-3,3,5,7,9,15;还应有k-9=±1,±2,±3,±6,k=3,6，7,8,10,11,12，15.所以k=3,7,15时，x1和x2都是整数，综上所述，当k值为3，6，7，9，15时方程的解都是整数。例2(2000年全国初中数学联赛试题)设关于x的二次方程(k2－6k＋8)﹒x2＋(2k2－6k－4)x＋k2＝4的两根都是整数.求满足条件的所有实数k的值.分析此题也可通过直接求根法求出二根，但是它的条件与例1不同

6、，例1中的参数k是整数，而本题中的参数k是实数。因此求得二根后不能像例1那样讨论，因为使x1（或x2）为整数的实数k有无穷多个，所以要先消去k，得到关于x1，x2的不定方程，先求出这个不定方程的整数解，然后再反过来求k的值。解将原方程变形得(k－2)(k－4)x2＋(2k2－6k－4)x＋(k－2)(k＋2)＝0.分解因式得[(k－2)x＋k＋2][(k－4)x＋k－2]＝0.显然，k≠2，k≠4.解得x1＝－=；x2＝－=.于是有，（x1≠-1,x2≠-1）两式相减消去k整理得x1x2＋3x1＋2＝0即x1(x2＋3)＝－2.于是有或或

7、或解得或或或(舍去)因为,当x1=-2时，k=6;当x1=2时，k=;当x1=1时，k=3.经检验，k=6，3，都满足题意。.例3．（2000年广东奥林匹克学校高中入学考试数学试题）求当m为何整数时，关于x的一元二次方程mx2-6x+9=0与x2-4mx+4m2-4m-5=0的根都是整数。分析从此题的两个方程无法得到用有理式形式表示的二根，但方程有整数根的前提是有实数根，我们可以先求出两个方程有实根的条件，从而求出参数m的取值范围，再由m是整数的条件，确定其值。不过最后还得代入验证此时的方程是否根都是整数。标准文案实用文档解依题意有解得，

8、且m≠0.又m为整数，故m=±1。当m=1时，方程mx2-6x+9=0的二根均为1，方程x2-4mx+4m2-4m-5=0的二根为-1和5，符合要求。当m=-1时，方程mx2-6x+9=0的二