一元二次方程公共根与整数根(讲义)

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1、一元二次方程的公共根与整数根知识点睛一、公共根问题二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值和公共根．二、整数根问题对于一元二次方程的实根情况，可以用判别式来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．方程有整数根的条件：如果一元二次方程有整数根，那么必然同时满足以下条件：⑴为完全平方数；⑵或，其中为整数．以上两个条件必须同时满足，缺一不可．另外，如果只满足判

2、别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中、、均为有理数)三、方程根的取值范围问题先使用因式分解法或求根公式法求出两根，然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围．例题精讲一、一元二次方程的公共根【例1】求的值，使得一元二次方程，有相同的根，并求两个方程的根．【例2】设为的三边，且二次三项式与有一次公因式，证明：一定是直角三角形．【例3】三个二次方程，，有公共根．⑴求证：；⑵求的值．【例4】试求满足方程与有公共根的所有的值及所有公共根和所有相异根．【例5】二次项系数不相等的两个二次方程和一元二次方程的公共根与整数根page

3、5of5(其中，为正整数)有一个公共根，求的值．二、一元二次方程的整数根【例1】为什么实数时，关于的方程的解都是整数？【例2】若关于的方程的解都是整数，则符合条件的整数的值有_______个．【例3】已知是正整数，如果关于的方程的根都是整数，求的值及方程的整数根．【例4】若为正整数，且关于的方程有两个相异正整数根，求的值．【例5】关于的二次方程的两根都是整数．求满足条件的所有实数的值．【例6】当为何整数时，方程有整数解．【例7】已知关于的方程和，是否存在这样的值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若

4、存在，请求出这样的值；若不存在，请说明理由．【例8】求所有有理数，使得方程的所有根是整数．【例9】已知关于的方程的两根都是整数，求的值．【例10】已知为常数，关于的一元二次方程的解都是整数，求的值．【例11】已知为质数，二次方程的两根都是整数，请求出的所有可能的值．【例12】已知，且关于的二次方程有两个整数根，求整数．【例13】若一直角三角形两直角边的长，、均为整数，且满足．试求这个直角三角形的三边长．【例14】关于的方程至少有一个整数解，且是整数，求的值．一元二次方程的公共根与整数根page5of5【例1】已知方程(是非负

5、整数)至少有一个整数根，那么．【例2】当是什么整数时，关于的一元二次方程与的根都是整数．【例3】设为整数，且，方程有两个整数根，求的值及方程的根．【例4】当为何整数时，方程有整数解．【例5】已知方程(是非负整数)至少有一个整数根，那么．【例6】若关于的方程的解都是整数，则符合条件的整数的值有_______个．【例7】设方程有整数解，试确定整数的值，并求出这时方程所有的整数解．【例8】已知是正整数，且使得关于的一元二次方程至少有一个整数根，求的值．【例9】已知关于的方程(其中是非负整数)至少有一个整数根，求的值．【例10】已知

6、，为整数，方程的两根都大于且小于，求和的值．【例11】已知，都是正整数，试问关于的方程是否有两个整数解？如果有，请求出来；如果没有，请给出证明．【例12】已知方程及分别各有两个整数根及，且，．⑴求证：，，，；⑵求证：；⑶求所有可能的值．【例13】设是两个奇整数，试证方程不可能有有理根．一元二次方程的公共根与整数根page5of5【例1】试证不论是什么整数，方程没有整数解，方程中的是任何正的奇数．【例2】求方程的所有整数解．【例3】已知为整数，关于的方程组的所有解均为整数解，求的值．【例4】求方程的所有正整数解．【例5】求所有

7、的整数对，使．【例6】设是不为零的整数，关于的二次方程有有理根，求的值．【例7】当是什么整数时，关于的一元二次方程与的根都是整数．【例8】是正整数，关于的方程的根都是整数，求的值及方程的整数根．【例9】已知是实数，关于的方程组有整数解，求满足的关系式．【例10】已知为质数，使二次方程的两根都是整数，求出所有可能的的值．【例11】设关于的二次方程的两根都是整数，求满足条件的所有实数的值．【例12】为何值时，方程和有相同的整数根？并且求出它们的整数根？【例13】已知关于的方程的根都是整数，那么符合条件的整数有__________

8、_个．【例14】求所有正实数，使得方程仅有整数根．【例15】方程有两个整数根，求a的值．一元二次方程的公共根与整数根page5of5【例1】求所有的正整数，，使得关于的方程的所有的根都是正整数．【例2】为正整数，方程有一个整数根，则__________．【例3】求出所有正整数，使方程至少有