一元二次方程的有理数根、公共根与整数根整合.doc

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1、西安文津教育62568277凤城四路明光路文景路之间海璟新天一元二次方程的有理根总结求一元二次方程的有理根、整数根问题常与一元二次方程根的判别式发生联系，也就是说，常常利用根的判别式为完全平方数来讨论。1、如果是完全平方式，求的值2、若是整数，求所有满足条件的正整数的值3、关于，的方程有整数解，求满足条件的的值4、设k为整数，且，方程有有理根，求k的值。5、当是什么实数时，对于任意有理数，方程有有理根？6、已知关于的方程的根都是整数，那么符合条件的整数有_________个。7、已知是正整数，且使得关于方程至少有一个

2、整数根。求的值。8、试确定一切有理数，使得关于的方程有根且只有整数根。9、试确定一切有理数r，使得关于x的方程rx2+（r+2）x+r-1=0有根且只有整数根．10、已知为质数，使一元二次方程的两根都是整数，求出的所有可能值。11、已知，求方程的整数根。12、设关于的二次方程的两根都是整数。求满足条件的所有实数的值。13、已知关于的方程的两个根都是正整数，求的值。一元二次方程的公共根与整数根一、公共根问题二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值和公共根．二、整数

3、根问题对于一元二次方程的实根情况，可以用判别式5文津教育地址：海璟新天-凤城四路明光路文景路之间62568277西安文津教育62568277凤城四路明光路文景路之间海璟新天来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．求有整数根的二次方程中，参数问题，要根据方程的结构特点，设法将二次方程转化为两个一次式，再根据整数根确定其解。其转化途径：或直接分解因式；或利用根与系数的关系；或利用求根公式。求二次方程的整

4、数根常用的数学思想方法是分类讨论，但在运用时，要具体问题具体分析。方程有整数根的条件：如果一元二次方程有整数根，那么必然同时满足以下条件：⑴为完全平方数；⑵或，其中为整数．以上两个条件必须同时满足，缺一不可．另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中、、均为有理数)三、方程根的取值范围问题先使用因式分解法或求根公式法求出两根，然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围．例题一、一元二次方程的公共根例1求的值，使得一元二次方程，有相同的根，并求两个方程的根．例2设为的三边，且二次三项式与有一次公因式

5、，证明：一定是直角三角形．例3三个二次方程，，有公共根．⑴求证：；⑵求的值．例4试求满足方程与有公共根的所有的值及所有公共根和所有相异根．例5二次项系数不相等的两个二次方程和(其中，为正整数)有一个公共根，求的值．二、一元二次方程的整数根例6：为什么实数时，关于的方程的解都是整数？例7：若关于的方程的解都是整数，则符合条件的整数的值有_______个．例8：已知是正整数，如果关于的方程的根都是整数，求的值及方程的整数根．练习1、若为正整数，且关于的方程有两个相异正整数根，求的值．练/2、关于的二次方程的两根都是整数．

6、求满足条件的所有实数的值．5文津教育地址：海璟新天-凤城四路明光路文景路之间62568277西安文津教育62568277凤城四路明光路文景路之间海璟新天练/3、当为何整数时，方程有整数解．练习/4已知关于的方程和，是否存在这样的值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的值；若不存在，请说明理由．练习/5求所有有理数，使得方程的所有根是整数．练习6/已知关于的方程的两根都是整数，求的值．练习7、已知为常数，关于的一元二次方程的解都是整数，求的值．练/8、已知为质数，二次方程的两

7、根都是整数，请求出的所有可能的值．练/9已知，且关于的二次方程有两个整数根，求整数．练习10、若一直角三角形两直角边的长，、均为整数，且满足．试求这个直角三角形的三边长．练习11、关于的方程至少有一个整数解，且是整数，求的/1．练习12、已知方程(是非负整数)至少有一个整数根，那么．练/13、当是什么整数时，关于的一元二次方程与的根都是整数．练/14、设为整数，且，方程有两个整数根，求的值及方程的根．练/15、当为何整数时，方程有整数解．练/16、已知方程(是非负整数)至少有一个整数根，那么．5文津教育地址：海璟新天

8、-凤城四路明光路文景路之间62568277西安文津教育62568277凤城四路明光路文景路之间海璟新天练/17、若关于的方程的解都是整数，则符合条件的整数的值有_______个．/18设方程有整数解，试确定整数的值，并求出这时方程所有的整数解．19已知是正整数，且使得关于的一元二次方程至少有一个整数根，求的值．20已知关于的方程(其中是非负整数