范钦珊版材料力学习题全解 第11章 材料力学中的能量法

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1、范钦珊教育教学工作室FANQin-Shan’sEducation&TeachingStudioeBook材料力学习题详细解答教师用书(第11章)2006-01-181习题11－1习题11－2习题11－3习题11－4习题11－5习题11－6习题11－7习题11－8习题11－9习题11－10习题11－11习题11－122材料力学习题详细解答之十一第11章材料力学中的能量法11－1图示简支梁中点只承受集中力F时，最大转角为θmax，应变能为V(F)；中点只承受集中力偶M时，最大挠度为wmax，梁的应变能为Vε(M)。当同时在中点施加F和M时，梁的应变能有以下四种答案，

2、试判断哪一种是正确的。（A）V(F)+V(M)；ε（B）Vε(F)+Vε(M)+Mθmax；（C）Vε(F)+Vε(M)+Fwmax；1（D）Vε(F)+Vε(M)+(Mθ+Fwmax)。2习题11－1图解：因为对于线性弹性结构，先加F时梁内的应变能为：1VFε()F=wF2再加M时，由于反对称载荷，梁中点的挠度仍为wF，这时先加的力F不作功，所以梁内应变能将增加：1MθM=Vε(M)2同时施加F和M时的应变能，等于先加F、再加M时的应变能，即Vε(F,M)=Vε(F)+Vε(M)所以，正确答案是A。11－2图示圆柱体承受轴向拉伸，已知F、l、d以及材料弹性常数

3、E、ν。试用功的互等定理，求圆柱体的体积改变量。解：将外加载荷（一对F力）作为第1力系。为应用功的互等定理，建立辅助力系－静水压力q作为第2力系，如图所示。3在第2力系作用下，圆柱体上的任意点都处于三向等压应力状态σ=σσ==−q。因123此圆柱体两端面的相对线位移11−2ν∆ε()qlqq=×=−−−−⎡⎤ν()ql=−ql（靠拢）x⎣⎦EE作为第1力系的外加载荷（一对F力）在第二力系引起的相应位移∆()q上所作的功12−νFq∆()=Fql（1）E将静水压力q作为广义力，与之对应的广义位移就是圆柱体的体积改变量：∫∫qsrqdd⋅=ddrsqV=∆()（2）

4、SS表面表面于是，应用功的互等定理，有12−νqVFFq∆==()∆()FqlE由此解得12−ν∆=VF()FlExpppzpy（a）(b)习题11－2图习题11－2的解11－3具有中间铰的线弹性材料梁，受力如图a所示，两段梁的弯曲刚度均为EI。用莫尔法确定中间铰两侧截面的相对转角有下列四种分段方法，试判断哪一种是正确的。（A）按图b所示施加一对单位力偶，积分时不必分段；（B）按图b所示施加一对单位力偶，积分时必须分段；（C）按图c所示施加一对单位力偶，积分时不必分段；（D）按图c所示施加一对单位力偶，积分时必须分段。解：根据受力分析，载荷引起的弯矩方程M和单位

5、习题11－3图载荷引起的弯矩方程M在AC和CB两段都是相同的。所以，作莫尔积分时可以不分段，只需将一段的积分结果乘4以2。所以，正确答案是A。11－4图示M和M图分别为同一等截面梁的载荷弯矩图和单位弯矩图，则在下列四种情形下，AΩ与MCi或AΩi与MCi相乘，试判断哪一种是正确的。习题11－4图解：图形互乘时的原则是：第一，单位载荷引起的弯矩图，必须为直线；第二，单位载荷引起的弯矩图只能有一个斜率，否则，就要分段。如果载荷引起的弯矩图也是直线的，也可以反乘，但原则是相同的。图（B）中的乘法，不符合单位载荷弯矩图的分段原则，所以是不正确的；图（C）和（D）中的乘法

6、，因为载荷引起的弯矩图不是直线，所以不能相乘，因而也是不正确的。图（A）中的乘法符合图形互乘的原则，所以正确答案是A。11－5图示M和M图分别为等截面梁的载荷弯矩图和单位弯矩图。试判断下列四种图乘方法哪一种是正确的。解：图形互乘时的原则是：第一，单位载荷引起的弯矩图，必须为直线；第二，单位载荷引起的弯矩图只能有一个斜率，否则，就要分段。如果载荷引起的弯矩图也是直线的，也可以反乘，但原则是相同的。图（A）、（B）、（D）中的乘法，都不符合单位载荷弯矩图的分段原则，所以是不正确习题11－5图的。只有图（C）中的乘法符合图形互乘的原则，所以正确答案是（C）。11－6图

7、示各梁中F、M、q、l以及弯曲刚度EI等均已知，忽略剪力影响。试用图乘法求点A的挠度；截面B的转角。题（a）解：5习题11－6a图习题11－6b图1wA=(MC1AΩ1+MC2AΩ2+MC3AΩ3)EI3121⎡⎤lF415l=l⋅()()()Fll⋅+Fll⋅+lFll⋅=(↓)⎢⎥EI⎣⎦922926EI11⎡11⎤Fl2θB=(−MC4AΩ4)=−⎢(Fl⋅l⋅2+Fl⋅l)⎥=−（顺时针）EIEI⎣22⎦EI题（b）解：1wA=(−MC1AΩ1−MC2AΩ2)EI21⎡l11l21⎤Ml=−⎢(⋅)⋅(Ml)+(⋅)(Ml)⎥=−(↑)EI⎣232232

8、⎦4EI11⎡⎤1121