系列导体平行板静电平衡问题地讨论

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1、实用文档系列导体平行板静电平衡问题的讨论黄存可，赵凤吹，王祥高，郭进收稿日期：2013-02-28基金项目：广西高校精品课程《大学物理》建设项目（桂教高教〔2010〕100号）；广西高等教育教学改革工程项目(2012JGB107)。作者简介：黄存可(1975-)，男，广西南宁人，博士，从事大学物理教学和功能材料研究。(广西大学物理科学与工程技术学院，广西南宁，530004)摘要：本文基于物理意义的挖掘，并运用等效原理和叠加原理，对系列平行导体板的静电平衡问题进行较为系统的研究.作者认为该类型问题可以按边界条件的不同进行区域划分，每个区域都可以归纳为几种基本类型中的一种

2、，每种基本类型的求解过程都非常规范且简单.另外，还可以用整体法把多个导体板的问题转化为2个板的简单情况.关键词：边界条件；物理意义；等效原理；叠加原理；整体法静电平衡问题是静电场中的重要问题，平行导体板系列和球形导体系列是静电平衡问题中出现频率最高的两种典型问题.下面作者结合自身教学实践，谈谈系列导体板的静电平衡问题.导体板接地后起静电屏蔽作用，其一侧的带电导体板无法影响另外一侧导体板的电荷分布，即接地板可以视为一种边界.另外，无穷远也是一种边界.于是可将系列导体板问题按边界性质分为3大类：1）两边都是无限远边界；2）两边分别是接地和无限远边界；3）两边都是接地边界.

3、下面分别进行分类讨论.1两边都是无限远边界情况我们从一个最简单的常见例题[1]说起：已知：导体板A带电量QA，B板带QB，面积都为S（图1），不考虑边缘效应.求：A、B板上各面的电荷密度.图1两个非接地导体板图2两相邻非接地板间的电场分布及高斯面解：静电平衡的基本方程有两种，一是静电平衡方程，二是电荷守恒方程.设4个面的电荷密度和所激发的电场如图1标准文案实用文档所示.导体板A处于静电平衡时，其内部的任意点P的电场为零.取电场向右为正，则有：(1)类似的，对导体板B，有：(2)由A、B板电荷守恒，分别有：(3)(4)解方程(1)-(4)得：(5)(5)式中，计算某面的

4、电荷量时，该面的电荷取正.(6)知道面电荷量情况（或面电荷密度）后，电场分布、电势差等其他电学量都可以陆续求出.我们知道，每个导体板有2个面，对n个板则有2n个变量.每个板可列1个静电平衡和1个电荷守恒方程，共可列2n个方程.虽可通过这2n阶的方程组解答出所有的面电荷密度，但可想象，求高于6阶方程组的解已不容易.但如能对解答的数学形式赋予物理意义，无疑为问题的拓展带来帮助.从(5)(6)式所示解答的数学形式似乎包含这么一个规律：相邻板间的电量相反，最外2个面的电量相等.如果这是一个规律，则可以减少一半的未知量，使得求解方程的数量大大减少.图3用等效法求最外侧2个面分布

5、电量的图示取高斯面如图(2)[1]标准文案实用文档.由于电场方向垂直板面，因此高斯面侧面的电通量为零；又因板内电场为零，故高斯面底面的电通量也为零.因此高斯面内的电荷代数和为零——这就是解答(5)的物理解释.再讨论最外侧2个面电量相等的问题.由于没有边缘效应，对应的电场只分布在两板之间.A和B外侧的电荷不受该电场作用，因而在它们的电荷分布与AB间电场无关.又因2和3面的总电量为零，因此，在讨论A和B外侧电荷分布时，可以把A板和B板间的部分去掉.即在仅讨论该外部电荷这个问题时，可等效为一个实心的、总电量为QA+QB的厚导体板(图3).显然，两最外侧的电荷要对称分布——这

6、可以作为解答(6)的物理解释.如果是多个导体板，则在讨论最外侧的两个面对电量分布时，也可以做类似等效处理，其结果也是：最外侧2个面电量相等，电性相同.经过以上物理意义的探索，(5)(6)式两个数学解答可推广为有用的推论.并由此直接得到n个定解方程（n-1个相邻板间表面电量关系，1个最外表面间电量关系方程），这使得方程组的阶数减半.然而，n个导体板对应的n阶方程的求解还是复杂的，故还需进一步探讨.我们知道，分布在各平板的面电荷量受2种情况影响：1)平板自身的带电情况；2)其他平板的带电情况.电场满足叠加定理，而电场与面电荷密度成正比，因此导体板的分布面电荷也满足叠加定理

7、.即某个面的分布电荷量是这些影响因素分别单独存在时的线性叠加.显然，单个板带电的情况是可简单求解的，线性叠加的规律也是简单的.因此，我们可以退为进，用叠加原理求解.设有多个左右水平排列的n个非接地平行板导体，任意第i个板带电为Qi.对所有导体板，仅自身带电时，其电荷对称分布到自身的两个表面，故每个面的电量都是Qi/2.假设只有第i板带电而其他为中性，则分布在第i导体板每个面的电荷都会向外垂直激发电场，这使其他中性导体板产生静电感应.由于第i导体板的施感，其他中性导体板中靠近第i导体板一侧分布的感应电荷量为-Qi/2，而远离一侧的面感应电荷量为Qi/2