高中数学第三章三角函数3.4函数y=asinωxφ的图象与性质3.4.2函数y＝asinωx＋φ的图象与性质（二）学案湘教版

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1、3.4.2　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质(二)[学习目标]　1.会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象.2.能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，确定其解析式.3.了解y＝Asin(ωx＋φ)的图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相．[知识链接]1．由函数y＝sinx的图象经过怎样的变换得到函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象？答　y＝sinx的图象变换成y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象一般有两个途径：途径一：先相位变换，再周期变换先将y＝sinx的图象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移

2、φ

3、个单位

4、长度，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得y＝sin(ωx＋φ)的图象．途径二：先周期变换，再相位变换先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移个单位长度，得y＝sin(ωx＋φ)的图象．2．物理中，简谐运动的图象就是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)的图象，其中A＞0，ω＞0.描述简谐运动的物理量有振幅、周期、频率、相位和初相等，你知道这些物理量分别是指哪些数据以及各自的含义吗？答　A是振幅，它是指物体离开平衡位置的最大距离；T＝是周

5、期，它是指物体往复运动一次所需要的时间；f＝＝是频率，它是指物体在单位时间内往复运动的次数；ωx＋φ称为相位；φ称为初相，即x＝0时的相位．[预习导引]1．简谐振动简谐振动y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)中，A叫做振幅，周期T＝，频率f＝，相位是ωx＋φ，初相是φ.2．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质如下：14定义域R值域[－A，A]周期性T＝奇偶性φ＝kπ(k∈Z)时是奇函数；φ＝＋kπ(k∈Z)时是偶函数；当φ≠(k∈Z)时是非奇非偶函数单调性单调增区间可由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)得到，单调减区间可由2kπ＋

6、≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)得到要点一　“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图例1　用“五点法”作出函数y＝2sin的简图，并指出该函数的单调区间．解　(1)列表如下：2x＋0π2πx－y020－20(2)描点、连线，如图由图象知，在一个周期内，函数在上单调递减，函数在上单调递增．又因为函数的周期为π，所以函数的单调递减区间为(k∈Z)；单调递增区间为(k∈Z)．14规律方法　用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)的简图，先作变量代换，令X＝ωx＋φ，再用方程思想由X取0，，π，π，2π来确定对应的x值，最后根据x，y的值描点、连线画出

7、函数的图象．跟踪演练1　作出函数y＝sin在长度为一个周期的闭区间上的图象．解　列表：X＝x－0π2πxπ4π7πy＝sin00－0描点画图(如图所示)：要点二　求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式例2　函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，

8、φ

9、<)的图象的一部分如图所示，求此函数的解析式．解　方法一　(逐一定参法)由图象知A＝3，T＝－＝π，∴ω＝＝2，∴y＝3sin(2x＋φ)．∵点在函数图象上，∴0＝3sin.∴－×2＋φ＝kπ，得φ＝＋kπ(k∈Z)．∵

10、φ

11、<，∴φ＝.∴y＝3sin.14方法二　(待定系数法)由图象知A＝3.∵图象过

12、点和，∴解得∴y＝3sin.方法三　(图象变换法)由A＝3，T＝π，点在图象上，可知函数图象由y＝3sin2x向左平移个单位长度而得，所以y＝3sin2，即y＝3sin.规律方法　三角函数中系数的确定方法给出y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法(1)第一零点法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ.(2)特殊值法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一

13、点，并能正确代入列式．(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asinωx，再根据图象平移规律确定相关的参数．跟踪演练2　如图，函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，

14、φ

15、<π)的图象，根据图中条件，写出该函数解析式．解　由图象知A＝5.由＝－π＝，得T＝3π，∴ω＝＝.∴y＝5sin(x＋φ)．下面用两种方法求φ：方法一　(单调性法)∵点(π，0)在递减的那段曲线上，14∴＋φ∈[＋2kπ，π＋2kπ](k∈Z)．由sin(＋φ)＝0，得＋φ＝2kπ＋π(k∈Z)，∴φ＝2kπ＋(k∈Z)．∵

16、φ

17、<π，∴φ＝.方法二　(

18、最值点法)将最高点坐标(，5)代入y＝5sin(x＋φ)，得5si