2017_2018版高中数学第二章推理与证明章末分层突破学案新人教a版

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1、第二章推理与证明[自我校对]①由部分到整体，由个别到一般②类比推理　③演绎推理　④由一般到特殊　⑤综合法　⑥执果索因⑦反证法　　归纳推理1.归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题(猜想)．2．在应用归纳推理时，首先要观察部分对象的整体特征，然后分析所观察对象中哪些元素是不变的，哪些元素是变化的，并将变化的量的变化规律表达出来．　如图21，一个树形图依据下列规律不断生长：1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点．则第11行的实心圆点的个数是________．图

2、21【精彩点拨】　列出每行实心圆点的个数，从中归纳出变化规律，然后运用此规律求第11行实心圆点的个数．17【规范解答】　前6行中实心圆点的个数依次为：0,1,1,2,3,5，据此猜想这个数列的规律为：从第3项起，每一项都等于它前面两项的和，故续写这个数列到第11行如下：8,13,21,34,55，所以第11行的实心圆点的个数是55.【答案】　55[再练一题]1．记Sk＝1k＋2k＋3k＋…＋nk，当k＝1,2,3，…时，观察下列等式：S1＝n2＋n，S2＝n3＋n2＋n，S3＝n4＋n3＋n2，S4＝n5＋n4＋n3－n，S5＝An6＋n5＋n4＋Bn2，…可以推测，A－B＝___

3、_____.【解析】　由S1，S2，S3，S4各项系数知，A＝，A＋＋＋B＝1，于是B＝－，所以A－B＝＋＝.【答案】　　类比推理1.类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，由平面中的相关结论可以类比得到空间中的相关结论．2．平面图形与空间图形类比．平面图形空间图形点线线面边长面积17面积体积线线角二面角三角形四面体　在平面几何中研究正三角形内任意一点与三边的关系时，我们有真命题：边长为a的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值a，类比上述命题，请你写出关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题，并给出简要

4、的证明．【精彩点拨】　利用类比推理时，正三角形可类比成正四面体，归纳出结论再给予证明．【规范解答】　类比所得的真命题是：棱长为a的正四面体内任意一点到四个面的距离之和是定值a.证明：设M是正四面体PABC内任一点，M到面ABC，面PAB，面PAC，面PBC的距离分别为d1，d2，d3，d4.由于正四面体四个面的面积相等，故有：VP－ABC＝VM－ABC＋VM－PAB＋VM－PAC＋VM－PBC＝·S△ABC·(d1＋d2＋d3＋d4)，而S△ABC＝a2，VP－ABC＝a3，故d1＋d2＋d3＋d4＝a(定值)．[再练一题]2．在△ABC中，若AB⊥AC，AD⊥BC于D，则＝＋.在

5、四面体ABCD中，若AB，AC，AD两两垂直，AH⊥底面BCD，垂足为H，则类似的结论是什么？并说明理由.【导学号：81092031】【解】　类似的结论是：如图，在四面体ABCD中，若AB，AC，AD两两垂直，AH⊥底面BCD，垂足为H，则＝＋＋.证明如下：17连接BH并延长交CD于E，连接AE.∵AB，AC，AD两两垂直，∴AB⊥平面ACD.又∵AE⊂平面ACD，∴AB⊥AE.在Rt△ABE中，有＝＋.①又易证CD⊥AE，在Rt△ACD中，＝＋.②将②代入①得＝＋＋.　演绎推理演绎推理是由一般到特殊的推理，一般模式为三段论．演绎推理只要前提正确，推理的形式正确，那么推理所得的结论

6、就一定正确．　已知平面α∥平面β，直线l⊥α，l∩α＝A，如图22所示，求证：l⊥β.图22【精彩点拨】　分别确定大前提、小前提，利用演绎推理的方法证明．【规范解答】　在平面β内任取一条直线b，平面γ是经过点A与直线b的平面．设γ∩α＝a.①如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行，(大前提)α∥β，且α∩γ＝a，β∩γ＝b，(小前提)所以a∥b.(结论)②如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，(大前提)且l⊥α，a⊂α，(小前提)所以l⊥a.(结论)③如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么它也与另一条垂直，(大前提)a∥b，

7、且l⊥a，(小前提)所以l⊥b.(结论)④如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直，(大前提)因为l⊥b，且直线b是平面β内的任意一条直线，(小前提)所以l⊥β.(结论)17[再练一题]3．如图23，在空间四边形ABCD中，M，N分别为AB，AD的中点．求证：MN∥平面BCD(写出大前提，小前提，结论)图23【证明】　三角形中位线平行于底边，(大前提)∵M，N分别为AB与AD的中点，∴MN为△ABD的中位线．(小前提)∴MN∥BD.(结