整环上的Kaplansky变换

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时间:2019-06-25

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1、部分符号说明咒整环兄\0R减去0∈(岳)属于(不属于)三(∈)包含(包含于)C(S)真包含于至(垡)不包含(不包含于)n(U)交(并)圆张量积∑和V对每一个<(主)真小于≥(≤)大于或等于(小于或等于)r指标集√7理想,的根alba整除bhtP素理想P的高度di:m(R1R的Krull维数t-dim(R1R的乒维数Z整数环Spec(R1R的素谱Max(R1R的极大理想的集合w-Spec(R1R的W一素谱训一Max(R1R的极大廿理想的集合R/PR关于理想P的商环—w-Ma—x(R)"一Max(R)的闭包第iv页,共52页引言1900年,著名数学家D.Hilbe

2、rt在巴黎召开的国际数学家代表大会上提出了二十三个问题.其中第十四个问题是关于“某些完备函数系的有限性的证明”,即假设后是一个域,z1,z2,⋯,z。在后上线性无关.若上是k(x1,z2,⋯,z。)的一个包含%的子域,则环%陋-,zz,·一,z。】nL在%上是有限生成的吗?此后,Hilbert的第十四个问题受到广泛关注,且被推广为如下形式.即假设k是一个域,z1,现,⋯,z。在k上线性无关.若G是GL(n,%)的一个子群,则多项式环k[x1,Xz,⋯,z。】的不变子环k[xl,z2,⋯,z。】G在七上是有限生成的吗?1954年,Zariski又以如下形式将Hi

3、lbert的第十四个问题推广为Zariski问题.即假设七是一个域,A是一个有限生成且整闭的肛代数,其商域为K.若L是Ⅳ的一个包含k的子域,则AnL是一个有限生成k代数吗?1956年,M.Nagata在[1】中提出了理想变换的概念.即假设J是整环刷拘一个非零理想,称R的一个扩环TR(,)=【J陋:,n】n≥1为理想j关于尉拘理想变换,也ⅡqNagata变换.理想变换对Nagata的关于Hilbert的第十四个问题的研究是非常有用的.比如在他的文章【1】,[2】,【3】,【4]及[5】中就有所体现.在某些特定情况下,D.Hilbert,E.Fischer,E.N

4、oether及H.Weyl对Hilbert的第十四个问题作出了肯定的回答.比如f5];当tr,degkL≤2时,Zariski对于推广的Hilbert的第十四个问题,即Z盯i8ki问题也给出了肯定的回答;然而在1957年,D.Rees在[6】中给出了当tr.degkL=3时的一个反例;两年后,Nagata在[2】中当tr.degkL=4时对于Hilbert的第十四个问题又给出了一个漂亮的反例.理想变换的意义之所以重大,还表现在咀下几个方面.首先是理想变换与Zariski域的关系.我们称~个给定的域k的一个有限生成域扩张L为%上的一个Zariski域,是指对每个

5、具有商域为K的有限生成且整闭的k一代数A其中K≥L有AnL是一个有限生成七一代数.从而,工是一个Zariski域当且仅当对第1页,共52页引言每个具有商域为L的有限生成且整闭的舡代数B,有理想变换,b(,)在B上是有限生成的,其中,是B的任意理想;其次,理想变换在交换代数的其它内容中也被证明是非常有用的.比如,Nagata在[7】中还注意到了理想变换TR(J)可被用来研究Catenax=5r链条件;Brewer在(8J中为了研究一个整环的扩环也介绍了理想变换;在此之后,几个学者又在[9】及【10l等多篇文章中通过相关方法对扩环作了进一步研究:不仅如此,在非整环

6、的情况下,理想变换也得到了深入的研究.比如,关于珏(,)何时是有限生成的,平坦的,或在且上整的问题都已被许多学者研究过;与此同时,理想变换还与局部上同调及素谱的开子空间的仿射紧密联系在一起.哪flHartshorne,Serre,Arezzo-Ramella及Ohi分别通过【11】,f12]'【13】及【14】对此作了讨论。然而,在Noether环以外的情况下,由Nagata定义的理想变换的性质并不尽如人意.例如,在扩环的研究中,Brewer和Gilmer在f91中得到了完整的刻画,而当考虑到关于有限生成理想的理想变换时,在通常情况下只得到了部分结果(和猜想)

7、;在Noether环的情况下,Spec(TR(功与D(I):={PESpec(R)lP砻n之间能够建立~个概型同构.但若兄是非Noether整环时,Spec(Tn(I))与D(』)之间是不同构的.而此时Kaplansky变换弥补了这一缺陷,即当R是一个非Noether整环时,Spec(n凡(驯与D(J)之间能够建立一个概型同构.在1974年,著名学者Kaplansky在f15】中定义了同拘扩环nR(jr)={z∈KI对任意a∈I,存在正整数n=n(n,z),使得:ga“∈IR},这个扩环在【10】中被称之为理想』关于用拘Kaplansky变换.在不会引起混淆的

8、情况下,我们将QR(』)与2k(,)分

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