有限Artin局部主理想环上的循环码

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1、有限Artin局部主理想环上的循环码2有5艮Artin局部主理想环本章第一节简要回顾了Artin环的定义及其基本性质第二节针对乞m上的循环码讨论时的各个定义，将它们推广到有限Artin局部主理想环上，并证明在玩m上成立的性质在有限Artin局部主理想环上仍然成立．2．1Artin环的基本概念和性质关于Artin模和Artin环的内容在文献『61中有详细的阐述，这里为了保持论文完整方便阅读，我们将主要的定义及性质写入这一节，详细内容参见f6L定义21．1㈣环础Ⅱ果是ArtinR-模，则称R为Arti

2、n环．于是，冠为Artin环相当于兄满足如下两个等价条件之一：(1)降链条件：R的每个理想降链Ⅳ1三Ⅳ23⋯M三⋯都是稳定的，即存在no使得^k=Ⅳm+1=(2)极小条件：R的一个理想集合如果非空，则必有极小元，例2．1．1【6】(1)有限环和域都是Artin环i(2)Z和R=^kl，一，z。，⋯](％为域)不是Artin环．例2．1．2【7】除环D上的矩阵环D。是Artin环．这是因为D。可以看作是除环D上的向量空间，其维数d／m(Dt，：D)=Tt2．因而对其子空间是有极小条件的．D。的每一个

3、理想都是向量空间D。的子空间，故对理想也有极小条件，即D。是Artin环定义21．2LS】只有一个极大理想的非零环叫做局部环．只有有限个极大理想的环是半局部环．引理2．1．1i6lArtin环R中只有有限多个极大理想，即Artin环为半局部环．引理2．I．21日R为Arfin局部环当且仅当存在％使得M”=(0)，其中且，是R的唯一极大理想．．IYlJ2．1．3磊m，(p为素数，m≥1)及％㈨／(，(∞)“)(k为有限域，，(∞)是％【x]中不可约多项式)都是有限Artin局部主理想环．3有限Art

4、iI涡部主理想环上的循环码22有g艮Artin局部主理想环的一些性质定理22．1f6j设(冠，^旷)：为Artin局部环，Ⅳ=R／M，则以下三条件彼此等价：(1)R为主理想环；(2)M为主理想：(3)出mkM／M2≤1证明(1)净(2)显然．(2)j(3)：设M=(。)，我们有R一模满同态．邶一箍=等z一丽其核Kerr2M=(。)．从而诱导出％一向量空间的线性变换7：R／M—M／M2，并且了是满射．于是dimK(M／M2)≤dimK(R／M)=l(3)辛(1)：如果dimK(M／M2)=o，则M=

5、M2．由于M为有限生成且模，从而由中山引理知M=(0)，即R为域，当然也是主理想环如果dimK(M／M2)=1，则有z∈M，使得M／M2=K．面，根据【6，第二章引理5】，可知M=Rx，即M为主理想．对于R的每一个真理想a≠(0)，由于z是幂零元素，从而有m≥1使得z”=0．于是M“=(0)．于是a≠M“=(0)．由于a为真理想，从而d￡M．于是存在r≥1使得o￡吖7，o垡Mr+l，因此有Y∈口，n∈R使得Y=凡矿．但是可芒(xr+1)，这说明礼善(z)=M，即n为单位．从而∥=nqY∈al于是M

6、’￡o，但是已经有M’2a．因此n=M’=(z’)．即R中每个理想均是主理想，从而R为主理想环．(并且R中每个理想均有形式M”．)口设R是有限Artin局部主理想环，则由定理2．2．1和引理2．1．2，可以设7是兄的极大理想的一个固定生成元，并且设t是7的幂零指数，即t是使r=0的最小正整数用耳表示剩余类域R／TR显然K是有限域4有限Artin局部主理想环上的循环码以下若无特殊声明，我们总是用R代表一个有限Artin局部主理想环，1是R的极大理想的一个固定生成元，t是1的幂零指数，Ⅳ是兄的剩余类域

7、R／TR用a表示R—If"=R／TR的环的标准满同态，任意r∈R在＆下的像记为f．d可自然地扩展成环同态：nix]一Kk对任意的，(。)∈R吲，我们用7如)表示，(z)在这个同态映射下的像．同样，对任何集合e∈R吲，我们定义一C=<7(z)ff(x)∈回另外，按一般习惯，对任意，(z)∈R陋]，用(，(z))表示由，(∞)生成的理想．定义2．21一个多项式，知)∈R[z】是首一的，若其首项系数是1引理22．1一个多项式，(z)∈R[x]是一个单位当且仅当了(∞)是KM中一个非零常数．证明如果，(。

8、)∈R[x1是一个单位，那么存在g(z)∈R吲使得，(z)g(x)=1，于是有7(z涫(∞)=1，即7(∞)足KH的单位．而耳是一个有限域，所以了(。)是KH中一个非零常数反过来如果7(。)=瓦≠o是K【z】中一个非零常数，那么，(。)=a+1“(z)．这里。，吖互素．于是有(。)+(，)=R．存在6，C∈．品使得曲+7c=1．在式子，(。)=。+1“扛)两边分别乘以6得bf(x)=ab+76“(。)=l～吖c+76u(茹)=l+7u(z)又若R吲中的z是幂零元，则总可以找到n使得