关于积Domain上的Scott拓扑与相关问题的讨论

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1、AbstractIVTp-topologyKeyWords：Scotttopology,way-belowrelation，T舢一topology,psztialmetrlcspace致谢Y654447‘本文是在导师梁基华教授的悉心指导下完成的。三年多来，是她始终不渝的关怀、鼓励、教诲和帮助，使作者得以顺利完成学业。她高尚的师德、严谨的学风和对拓扑学与Domain理论的精辟见解都给予作者深刻的启迪和影响，使作者终生受益。在此，作者向导师表示深深的敬意和感谢!作者衷心感谢罗懋康教授的关心、指导和帮助。感谢所有关心、支持和帮助我顺利完成学业的老师、同学和

2、朋友。也感谢我的家人多年来对我的理解和支持。§1引言与预备拓扑和序是数学的两大结构．两者的结合拓宽了拓扑学的研究范畴，加强了拓扑学在其他学科中的应用．Domain理论是由Scott[4】在上世纪60年代末建立的，作为程序设计语言指称语义学的数学基础。在Domain理论里，序和拓扑的结合起着基本的作用．为了描述信息的逼近状态，Scott首先引入了Scott拓扑，其后的工作141中我们看到Scott拓扑成为了最有用的一个拓扑．考虑积Domain上的Scott拓扑是否与其上的Scott拓扑的积拓扑相一致是一个基本而有趣的问题。从【2】我们知道若三上的Sco

3、tt拓扑a(L)是连续格，则对任一完备格s，都有o(sXL)=o(s)×o(L)．本文通过例子说明存在一族dcpo{厶)吲，且每个口(厶)连续，但仃(n厶)≠n口(Li)．如果{Li}iej存在最小元，我们将证明结论是成立的．另一方面，way-below关系是从序结构角度描述信息的逼近状态的重要工具，其思想是将偏序集中的理想元表示成某些元的上确界，这些元就是理想元的有限逼近元，即way-below于理想元的元。逼近可以看作是关于Scott拓扑收敛的过程．对于连续偏序集来说，way—below关系是至关重要的．ThomasErker等人得到了一个从拓扑

4、空间到连续偏序集的连续函数空间way．below关系的刻画【5】．A．Jung[3l证明了如果D是一个具有连续函数空间的dcpo，对，，9∈【D—D】，若9《，，那么Vd∈D，都有9(d)《S(d)．本文考虑了一般的情形【D—E】，类似的结论是否仍成立的问题．对D为dcpo，E为连续dcpo，我们将证明了结论是成立的．2000年在【6】中KeyeMartin首先考虑了如何量度信息的逼近程度的问题．为此他引入了测度的思想，提出了测度、诱导Scott拓扑和p拓扑等概§l引言与预备2念，并做了相关的研究．本文推广肛一拓扑概念，引入了t“～拓扑。一个自然的问

5、题就是：Tp-拓扑和Scott拓扑有什么联系?还有它本身有什么样的性质?本文将讨论这些问题，并得出了在稳定偏度量空间17】的条件下，偏度量拓扑【目和T“．拓扑是一致的．本文中所用符号和术语是标准的，可见【“。一个偏序集称为dcpo，若它的每个定向子集都有上确界．对一个dcpoD，z，Y∈D，我们说z是way-below于Y，记为z《Y，若任给一个定向集A￡D且Y≤VA，则3a∈A，使得z≤a．一个dcpoD称为连续的，如果VxED，集合非z={可∈D：Y《z)是定向的并且z=VJ}茁．定义”1，对一个dcpoD，U冬D称为Scott开的，如果它是上集

6、且若有定向集F∈D，使得VF∈U，则FnU≠0．我们把D上所有的Scott开集组成的集合记为口(D)。设D和E是dcpo，函数f：D—E称为Scott连续的，如果，保持定向上确界．我们记从D到E的所有Scott连续函数组成的集合为【D—El，则函数空间[D一捌关于点式序：，≤g甘Vx∈D，S(x)曼g(x)也是dcpo的(见m．§2积Domain上的Scott拓扑从【2l中，我们知道如果L，s是完备格，则a(L)是连续格等价于a(SxL)：盯(s)×盯(q。事实上，类似于【2】中的证嘎可知这一结论对dcpo也成立．命题2．1设厶S是dcpo，则盯(￡

7、)是连续格当且仅当口(5，×三)=口(s)×口(L)证明辛(必要性)：显然口(s×L)三盯(S)xa(L)．反之，设W∈a(SxL)，u，")∈Ⅳ．令G={∥∈L：(u，Y)∈w}，则G是Scott开集且"∈G．由条件，存在G1∈o(L)使"∈G1《G．令凰={z∈S：3H∈D(L)，G1《H且{z}×HcⅣ)．注意到{让)×GcW，有乱∈H1．若说明日l是Scott开集，则有(u，")∈G1×H1∈W，因此W∈o(s)×口(L)，即完成了证明：显然日l是上集，设D是S的定向集且Yo=VD∈H，，则存在H∈盯(L)，G1《H且{珈)×日垦W．对每个d

8、∈D，令凰={Y∈L：(d，Y)∈w)容易看到风是sc。‘‘开集且日∈怂。％-从而存在d。∈D，Gl《凰。t