关联几何的若干问题分析

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1、摘要经典几何现在被推广为关联几何，它其中包含最为基础的射影儿何与仿射几何，很多文献中使用不同的公理化定义，而且证明这些不同的公理化定义的等价性是刖难的，这给理解与应用成果带来麻烦．目前关联几何的发展趋势之一是研究环上几何，以及”较弱条件下的几何变换问题”，即简化几何基本定理的条件使之更完美和便于应用．上世纪九十年代以来，国外几位学者刻画了较弱条件下的射影几何基本定理，即刻画了两个体上射影几何之间的将直线映射到直线之内的映射．本文将在此基础上，进～步讨论与完善射影几何与仿射几何理论．本文共分三章．第一章简要介绍课题背景，研究内

2、容和主要结果．本文第二章，给出了射影几何公理化定义，讨论了射影几何的等价定义，射影几何的基本性质，射影几何与向量空间的关联，射影几何之问的态射，除环上左(右)向量空间之间的半线性映射．上世纪九十年代之后，国外几何学家证明了较弱条件下的射影几何基本定理，本文对这个重要基本定理的证明进一步的整理与修改，使之更容易阅读与理解．在第二章的最后一节，讨论TBezout整环上射影几何理论．主要结果是应用环论中的局部化方法，证明-j"Bezout整环上射影几何基本定理，内容如下：设冗，，R是两个Bezout整环，兄是尉拘分式除环，V7=R

3、，R。，V=nR"，V=瓦R“，竹≥3．设9：P(y7)。．+P(y)是一个非退化的射影态射，则存在标准态射7-：y一矿使得7-og是Jhp(v7)到P(y)的非退化的(射影)态射，并且7-。9((z))=(矿P)，Vx∈V’，其中P∈胃强n是固定的，盯：R’o再是环同态且1RI盯=1育，OR,盯=畴．本文第三章，介绍了仿射几何理论，讨论了仿射几何之问的态射和加权半仿射映射理论．我们知道下述的较弱条件下的仿射几何基本定理：设Ky7分别为维数22的除环D，D7上左或右向量空间，其中lDI≥4，则每个非退化的仿射态射厂：V一一+

4、V’是加权半仿射映射．这是一个很重要的结果，但文献中对它的讲述还不是很详细，因此本文对这个定理的证明进行了整理与修改，还给出了加权半仿射映射的具体公式，以便于容易理解和应用．关键词：关联几何，o射影几何；仿射几何；除环；Bezout整环；加权半仿射映射．AbstractClassicalgeometryisextendedtocorrelationgeometrynow，itcontainsthebasicprojectivegeometryandaffinegeometry．Muchliteratureusesdiffer

5、entaxiomaticdeft—nition，anditisdifficulttoprovetheequivalenceofthesedifferentaxiomaticdefinition，whichbringstroubletothecomprehensionandapplicationoftheresults．Currently,thedevelopmenttrendofcorrelationgeometryisgeometryoverring，and“geometrytransformationproblemund

6、ertheweakercondition，”That’Ssimplifyconditionsoffundamentaltheoremsofgeometryandmakeitmoreperfectandeasierapplication．Sincethe1990s，severalscholarsabroadcharacterizedfundamentaltheoremsofpro-jectivegeometryundertheweakerconditions，thatis，characterizemappingofthelin

7、emappedtothelinebetweenprojectivegeometryovertwodivisionring．Onthisbasis，thispaperwillimprovethetheoryofprojectivegeometryandaffinegeometryindepth．Thispaperhasthreeparts．InChapterl，weintroducethetopicbackgroundandresearchcontentsandmainresults．InChapter2，wegiveanax

8、iomaticdefinitionofprojectivegeometry，anddiscusstheequivalencedefinition，basicproperties，therelationbetweenprojectivegeometryandvectorspace，morph