几何发展方程中若干问题的研究

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1、几何发展方程帕若干陋研究㈣必摘要本论文研究了平均曲率流的自相似解和一类逆平均曲率流，以及球面中极小超曲面的第二空隙。几何发展方程是研究数学问题的强有力工具，近几十年来受到了越来越多的关注。平均曲率流差不多是子流形几何中最为重要的几何流。平均曲率流中最为重要的问题之一是研究这个流可能出现的奇点。自相似解不仅与平均曲率流的奇点有密切的联系，而且是一类重要的子流形。我们广泛研究了平均曲率流的自收缩解，得到了它们的一些几何和分析的性质。通过给定无穷远处的边界值，我们在闵可夫斯基空间中构造了很多个整体光滑凸的严格类空平移解。球面中的极小子流形是微分几何

2、中一个优美而重要的课题，它们自然的联系着欧氏空间中的极小锥。由Chern—doCarmo-Kobayashi提出的一个公开问题是研究球面中极小超曲面数量曲率的空隙。近来，我们在不要求常数量曲率的假设下，对所有维数证明了第二空隙的存在性。本文的结构安排如下。在第一章，首先我们回忆了平均曲率流的历史和现状，以及自收缩解是如何由平均曲率流的奇点所引起的。自相似解的研究对平均曲率流的奇点的了解起到关键的作用。其次，我们讨论了逆平均曲率流，它是研究微分几何和广义相对论中数学问题的重要工具。最后，我们探讨了陈省身关于极小超曲面的刚性问题。在第二章，为了便

3、于讨论，我们引入了子流形几何的基本语言和符号。我们陈述了自收缩解以及平移解方面己知的工作和我们的研究结果。总共花了3章(第三章到第五章)来叙述我们在自收缩解方面的系列工作。我们给出了关于子流形的第二基本型方面的一些熟知的公式。特别的，对在欧氏空间以及伪欧氏空间中可以表示为图的包括拉格朗日情形在内的自收缩解作了仔细的讨论。在第三章，我们研究了任意余维数的自收缩解。同欧氏空间中极小子流形完全不一样的是，逆紧的非紧的自收缩解有下面最优的体积增长估计。定理1．仿D∥任意一个浸入在Ⅱp+m中的完备非紧的逆紧的自收缩解且f都有至多欧氏体积增长．即存在一个

4、仅依赖于佗和Mn风n的体积的常数c，使得对任意7’≥1有厶n夙l舡≤卯．假定自收缩解可以表示成向量值函数u的图，我们能够证明u有线性增长。定理2．似剐设M=．[(z，乱(z))Iz∈R”)是Rn+m中可表示为整体图的自收缩解且u(z)=(u1(z)，⋯，口”(z))，贝4l出汗≤(嬖+2)(M嘉l岫汗州扎)，其中z∈Rn及lu(x)12=∑m-1(un(z))2．我们导出了一个自收缩解版本的Ruh-Vilms型定理：自收缩解的高斯映照是带权的调和映照。通过对第二基本型仔细的分析，可以得到自收缩解的Bernstein型定理，其所要求的条件比极小

5、的情形要稍弱一点。借助Sobolev不等式，我们证明了一个关于高余维的自收缩解的第二基本型的模长范数的刚性定理。在第四章，我们重点研究了拉格朗日的自收缩解，即它既是拉格朗日子流形又是自收缩解。通过积分的办法，我们证明了具有不定度量∑tdxidyi的伪欧氏空间孵n中拉格朗日平均曲率流的可表示为整图的类空白收缩解一定是平坦的。定理3．佑e1)方程logdetD2u(z)=言z-Du(x)一乱(z)在”上的任意整体光滑凸解是二次多项式乱(o)+{(D2u(0)x，z)．这个结果去掉了【78]和【22】中额外的条件，从而完善了他们的结果。利用相同的方

6、式，我们再次证明了【22]中建立的欧氏空间的对应情形。在第五章，我们探讨了欧氏空间中的自收缩超曲面。我们利用【49】中类似的想法，研究了自收缩解的第二基本型的模长范数的第二空隙。定理4．似j／)假设Mn是浸入在Rn+1中的完备逆紧的自收缩解，其第二基本型记为B，那么存在一个正数6=o．011使得如果{≤IBl2≤{+占，那么lBl2兰趸1．通过比较Hoffeman-Osserman—Schoen[76]关于R3中常平均曲率曲面的著名结果，我们对自收缩解证明了相应的部分。定理5．仿3∥设M是浸入在Rn+1中的完备逆紧的自收缩超曲面．如果Gaus

7、s映照的像被包含在一个开半球里面，那么M是超平面．如果Gauss映照的像被包含在一个闭半球里面，那么M是超平面或者是Rn中(佗一1)．维的自收缩解与R的乘积．记n一1维的上半开球sn+-1={x1，⋯，z。)∈渺lz；+⋯+z。2=1，z。>o)．使用l扫Jost—Xin-Yang[92]所研究的球面凸几何的技术，我们得到了下面这个关于高斯像的范围的最优的刚性定理。2定理6．∥别设Mn浸入在Rn+1中的完备逆紧的自收缩超曲面．如果Gauss映照的像包含在sn＼对1中，那么M不得不是超平面．给定一个非负的整数g和常数D>0，令S，D表示所有具有

8、亏格不超过g直径不超过D的紧嵌入在R3中的自收缩解．通过估计自收缩解￡算子的第一特征值的下界，在没有有界熵条件下，2维的紧嵌入自收缩解也存在紧性定理。定理7．伊例对