格路径上的组合学

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1、万方数据CombinatoricsonLatticePathsAuthor：圣h亟卫g羔垒gi丛Supervisor：)鱼望壁坠i垒坠g学位：墨堂亟±Degree：MathematicsMasterofScienceInstitute：墨丛生ii璺坠g塑Q!磐垒l12坠i!曼!§丛xMarch，2015万方数据摘要格路计数足组合数学中经典的研究内容之一，直到现在仍然是一个非常热门的研究领域，因其还有许多未能证明和发现的性质一直以来备受关注．本文选取格路计数中Hankel行列式的计算问题以及格路上Ch?lnqFelle7『’性质的研究作为主要内容．令{ni}{≥o是～

2、个序列，对于一个非负整数太，序列{al}l>o的Ho，nkel矩阵A!是一个具有如下形式的矩阵A：一(ak+。句2)?仁，，其中{口2)f20是基于格路计数产生的三种组合数，即Catalan数，Motzkin数和SchriJder数．关J二Hankel行列式det(A}5)的计算问题已经得到了广泛的研究，例如非常著名的等式dett曼i，j墨n(c。+J一2)=1，detl

3、；Rajkovid，Petkovi∈和Barry利用正交多项式算出了两个连续带权SchrSder数的Hankel行列式的显性公式；而Eu，Wong和Yen得出两个连续带权SchrSde7t数的线性组合的Hankel行列式的生成函数和显性公式，他们研究的依据是著名的Gessel—ViennotLindstr石m引理，这也是本文研究格路卜Hankel行列式的理论依据．著名的Chung—Felle7’定理是1909年由MacMahon首次发现的：于1949年由Chung和Feller用分析的方法证明并且命名；之后，Narayana等人利用循环路证明了该定理；2005年，E

4、u，Fu和Yeh在研究了不同格路生成函数的泰勒展式后，改进了该定理，并且证明了赋权自由SchrSder路也具有Chung—Feller性质；2007年，陈永川教授等人依据双根平面树中的蝴蝶分解，重新证明了Chung～Feller定理以及Eu，Fu和Yeh的发现．本学位论文主要研究了格路上的HankeI行列式以及Chung—Feller性质，共分为三章．T万方数据摘要第一章介绍基本概念，相关的研究现状以及本文的主要结果第二章研究并算出了带权／lIotzkin数，自由带权Mot,zkin数以及带权Sch．rSde7、数的‘些Ha乳keI行列式的生成函数及显性公式．第三章

5、研究并发现了某类特殊格路的ChurtgFeller性质，并借此证明了Dzzemiahezv,k提出的公开问题关键词：格路计数；Motzkin数；Setu，5der数；日出礼j-：ef行列式cn螂。9一Feller性质II万方数据ABSTRACTLatticepathsareoneoftheclassicalobjectsincombinatorics，whichhavereceivedagreatdealofattentionandarecloselyrelatedtoothercombinatorialobjects·Inthispaper，wearemainly

6、concernedwiththeHankeldeterminantsandChung—FellerpropertiesonlatticepathsLethkobeasequence．Foranonnegativeinteger七，letA：denotetheHankelmatrixofordernofthesequences{al}l≥ooftheform雠=(ak+i+j一2)乙扑wherehkocouldbeCatalan，MotzkinandSchr6dernumbers．Theproblemofevaluatingthedeterminant磷hasbeen

7、extensivelystudied．Forexample，itiswellknownthatd酣1鱼j≤。(Ci+j-2)=1，detl≤i，j墨。(Ci+j一1)=landdetl<_i，j≤n(c计J)=礼+1；CameronandYipshowedthattheHankeldeterminantofsumsofconsecutiveMotzkinnumbersarccloselyrelatedtoaChebychevpolynomialofthesecondkind；Rajkovid，PetkovidandBarryobtainedtheexplicit