太阳影子定位技术 2015高教社杯 数学建模 获奖论文

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1、太阳影子定位技术摘要本文以太阳影子定位技术为背景，结合直杆影子轨迹的变化规律建立数学模型。并运用视频数据分析的方法，确定拍摄地点及日期等地理信息条件。第一问给出了北京时间、拍摄日期，以及拍摄地点的经纬度。我们可以结合太阳赤纬、时角、直杆的经纬度与太阳高度角之间的关系建立模型，求出符合时间条件要求的太阳高度角，再根据已知的杆的高度和三角公式求出影长关于时间的变化曲线。第二、三问在第一问的基础上增加难度，使部分变量未知。通过文献查阅和方程推导，得出阴影运动轨迹形状是双曲线的一支，并且具体形状和当地的纬度以及赤纬有关，本文根据这点进行模型假设与建立。附件中给出的坐标并不一定是标准地理坐标，通过对

2、其进行坐标变换，引入了实际坐标系与标准地理坐标系的偏角。在拟合多项高次变量组成的隐函数方程的过程中，为增加精确度，运用最小二乘法进行拟合求解未知参量时，可以利用直杆阴影顶点轨迹的形状，建立参量和变量之间的关系，简化需拟合的隐函数方程。这样就可以根据太阳影子顶点横纵坐标以及对应的时刻，把偏角、纬度、经度、日期作为未知参数进行拟合，得出要求的地理位置和相应的日期。如通过对附件1数据的拟合求解可得到一组地理坐标（东经104.425度，北纬15.6578度），对附件2数据的拟合求解可得一个可能的日期6月21日，坐标（东经116度，北纬26度），由附件3得到的可能的日期地点为：6月21日，（东经16

3、4.55度，北纬71.26度）。为了便于定位，根据一般工程的实际需求，对美国天文学家纽康（NewComb）提出的太阳公式作了综合、简化，舍去了一些高阶微小量。结合测量学的理论，用数学模型进行非线性拟合求得直杆所处的经纬度。第四问给出一段视频，实际是对前三问模型的实际应用。本问对一些已有的论文以及专利进行借鉴，创新与简化。首先对视频中的图像进行取帧，在灰度处理中因为技术限制，改为运用Matlab二值化处理。并根据简单测量画出运行轨迹。运用主元分析法求得阴影尖端坐标与杆底坐标的关系。确定影子的运动轨迹。之后借鉴已有成熟理论将2D图像去畸变，恢复仿射的度量属性，通过对3D图形转变2D过程的逆向推

4、导，将坐标恢复为符合现实要求的坐标。之后回归前几问建立的的日晷数学模型进行求解，得到一个可能的地理坐标为（东经104.9度，北纬25.33度）。并在最后进行误差修正。关键词：日晷投影原理、杆影端点轨迹、非线性最小二乘法、主元分析法、31二值化处理、Floodfill图论算法31一、问题重述如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬

5、39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。3.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。4．附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用模型给出若干个可能的拍摄地点。如果拍摄日期未知，能否根据视频确定出拍

6、摄地点与日期？二、问题分析2.1问题一的分析本问以直杆影子长度为研究对象，寻找影响影子长度与各个参数的关系及其变化规律。为了使影长的计算科学严谨，我们应了解太阳与地球之间相互的运动轨迹，由此计算出太阳对地球上某一定点的相对位置。这主要由当地的地理纬度、季节(月、日)和时间三个因素决定，可以用地理纬度(φ)、太阳赤纬角(δ)、太阳高度角(h)、及时角t等参数进行定量表达。2.2问题二的分析由于附件中给出的直杆阴影顶点的坐标系的x轴和y轴并不一定垂直或重合，有可能坐标轴向与南北方向存在一定的偏角（θ）。本问根据太阳影子顶点横纵坐标的2131组数据，对x和y的坐标进行旋转坐标变换，得到阴影顶点在

7、新坐标系下的坐标，该新坐标系以正东方向为x’轴正向，正北方向为y’轴正向，直杆底端为坐标原点，由原坐标系旋转θ得到。这样就可以由x’和y’求出相应时刻的太阳方位角（A），再结合太阳高度角(h)的计算公式，经过一系列化简，可以得到经纬度之间的关系。将经纬度作为参数，利用Matlab进行非线性拟合，选取合适的初值，即可得直杆所处地点的经纬度。2.3问题三的分析该问题的求解可利用问题二建立起来的模型，将由日期确定的太阳赤纬作为