分形空间上的Haar型基与收敛性

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1、@硕士学住论文MASTER’STHESIS华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。作者签名：枷日期：07年s月琴日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论

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3、学位论支MASTER’STHESIS第一节引言长期以来，对某一个数学集合，人们总是习惯于在Eulicd空间ⅡF中对其研究和度量，比如说Rd上各种函数空间的研究就一直是分析学家非常感兴趣的课题，这可参见文f12，13，16-19，21，23，27，28】，但在1982年，美籍法国数学家B．B．Mandelbrot的名著rheFractalGeometryo／Nature出版，分形这个概念就被广泛传播，它的研究也很快就成为了人们研究兴趣的焦点．比如文【1，9-11，24，251．随着对分形集的拓扑性质的深入研究，对于分形集上的各种函数空间的研究也日趋成为调和分析、泛函分析以及小波分析

4、专家们关于分形研究的主要方向之一．例如R．Strichaxtz等人就一直致力于分形集上的调和分析及自相似测度的傅立叶变换的研究，见文【2-5】；K．S．Lan和董新汉等人一直在从事分彤集上自相似测度的Cauchy变换的研究，见文iTi；还有J．Kigami和R，Strichartz等人关于分形PDE的研究，见文f141．由于分形与其他学科的结合越来越紧密，分形集上函数空间的研究就显得相当必要了．但函数空间本身的复杂性及其元素往往是不可数的，对其空间整体性质的研究很多对候并不能达到我们所想要得到的结果，这鄂要求我们去寻求该空间元素之间的关系或表达式．因此，对函数空间基的研究也就显得

5、很有必要．对于传统函数空fEL2(14，m)的研究已经有很长的历史．这里，=Rj或者【O，11，m为其上的Lebesgue测度显然它是一个Hilbert空间．对于其上是否存在基，尤其正交基一直是调和分析和小波分析研究的热点，文112，13，16，17，221中均指出己2(Jd，m)存在Haar型规范正交基，并且当I=【0，1J时其上还存在指数型正交基．正是如此，我们自然就期望分形集上的平方可积空间中也存在这样的指数型正交基或者Haar型正交基．事与愿违，A，Jorgensen、R．Strichartz和WaagYang等人已经指出某些分形集上的平方可积空间中不存在指数型正交基．既

6、然如此，那么其上是否存在Haar型正交基呢?本文旨在研究这个问题，为此考虑一类特殊分形集七(=2n一1)：分Cantor集Ck上的函数空NL2(ck，p)，这里弘为函数迭代系统{兵(z)=击+意，i=0⋯1．．，n—l>和概率向量p=(1／n，1／n+⋯，l／n)所产生的自相似测度．特别地当n=2时，我们讨沦三分Cantor集C的函数空间∥(C，p)上是否存在Haar型规范正交基．为了解决这个问题，我们首先分析了k分Cantor集C女的构造，从而得到它的相关拓扑性质及分形结构，实际上它是函数迭代系统{五(z)=--+⑨硕士学位论文MASTER’STHESIS：-≥，i=0，1，⋯

7、，n—1)形成的自相似集．J．E．Hutchinson在文[1]中引入了开集条件来刻划分形集的每一自相似部分(即不变集关于压缩映射的像)的重叠程度，而A．Schief在【6】中指出满足开集条件的自相似集具有很少的重叠部分，也就是只在边界处，组成分形集的自相似部分相交．特别地，当满足强分离条件时，自相似集的每一自相似部分彼此不交，在这一种情形下，我们指出其与符号空间是同胚的，即从拓扑的角度看它们并无差别．另外H．Federer在文【81中证明了，符号空间中存在一个正则的Borel测