不变集上多维Hermite插值小波的构造

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1、硕，I：毕业论文第1章引言1981年，J．E．Hutchinson(【5】)提出了R4中的不变集K(InvariantSet)的概念，1994，1997年，C．A．Michelli和Y．S．Xu(【6】6，【7】)在不变集上构造了L2(K)中的正交多小波基，在文(【11】)中，Z．Y．Chen，C．A．Michelli和Y．S．Xu又利用了这种不变集，提出了距离空间中对应于二族压缩映射的加细集(RefinableSet)概念。称R”中的一个集合是加细集，如果它包含于一族压缩映射的象的并集中．一个加细集递归地产生一族集合，我们将这种具有多尺度结构的集合称为集小波(Set

2、Wavelet)．而集小波理论是在解决一类积分方程，如具有奇异核的第二类Fredholm积分方程数值解的配置法(Collocationmethods)中有极其重要的应用背景。文【11】中，Z．Y．Chen，C．A．Michelli和Y．S．Xu提出并论证了不变集上的Lagrange插值小波，但是我们知道，Lagrange插值函数只是在函数值上的插值，为了对函数有更精确的逼近，我们自然希望对其导数再次进行插值，即Hermite插值。文【11】通过构造的集小波具体建立了Lageange插值小波，文【12】提出了多维Hermite插值的概念，并给出了可插值的一些基本条件，以

3、及插值基函数的求解方法。文f13]贝JJ给出了多维Hermite插值小波，但是仅考虑一致Hermite插值问题，本文在文【13】的基础上，联系文【12】中的对Hermite插值多项式问题的讨论，给出了一般情况下的Hermite插值小波．本文安排如下：第二章将叙述与集小波相关的一些概念以及性质，第三章给出了多维Hermite插值的条件以及基函数的求解判定，尤其是提出了分块结构，使得问题更加简单，第四章将给出不变集下多维Hermite插值小波的构造过程及主要结果，在文【131的基础上，对一般情况的插值问题进行讨论，使得应用范围更加广泛．硕士毕业论文第2章集小波的概念及其性

4、质为了对集小波有一个整体的认识，我们给出集小波的概念及其相关性质．令(X，d)是一完备的距离空间，m：={晚：￡∈E。)为定义在X上的一族压缩映射，其中E。．-{0，1，⋯，∥一1>，卢为一个正整数．设A为X中的一个子集，+xEX，Nx到A的距离及A的直径分别定义为：·dist(x，彳)．-inf{dO，y)：y∈彳}，diam(A)．_sup{d(x，y)：J，Y∈彳>，由压缩映射的定义可知，存在)，∈(o，1)使得diam(q6■”sydiam似)，￡EE。．设巾即)》U晚即)凰由文(【5】5)可知：存在x中的唯一一个紧子集K，使得m(K)=K，即U以衅)=K．(

5、2．1)(2．2)那么我们将满足(2．1)中的K称为关于压缩映射m的不变集(InvariantSet)．对任意的kEN．={1，2，．．．)和气--(e。，毛，．．．，&一。)∈或，这里E：．-‘×．．‘×乞(共忌个)，定于压缩映射吒：-以。。晚。。⋯。鸭／其中“。”表示函数的复合，设定叱．-{噍：ek∈或)，特别地，m。=巾．下面给出加细集的概念：定义2．1(见文[”】Definition2．1)称x的子集y关于映射族m是加细集(RefinableSet)，如果y∈m∥)．当V—m∥)时，Nv称为关于映射族m的不变集．易见，如果y为x的关于m的加细集，那么m。∥)(

6、kEN)也均为加细集．为了清楚起见，这里给出实轴上的两个例子：例1．距离空间为R，整数肛>1，设2硕一lj毕业论文妒，(f)：半，fER，￡EE．“(2．3)【0，1】显然就是关于这族映射V：=伽。，g∈E。}的不变集．：例2．(见文￡11]Proposition2．2)集合％≥仨：je巨ⅢkEN}是关于映射K族v的加细集．集4、波的产生从J中的一个有限离散点集Vo：-{1，，：-『∈L)作为一族压缩映射m的加细集开始．首先我们来定义有限子集序列：K：=m形一1)iEN，(2．4)我们考虑上述K为工的对应于压缩映射族m的不变子集，文(【11】)得到了关于这个K与所得到

7、的集合序列彤：f∈N。，No．-{o，1，2，··●)之间关系的命题．命题2．1(见文[11】Proposition3．2)K为X上的一个对应于有限压缩映射族m的非空加细集．彤：iEN)即为(2．4)所定义的集序列，则K=UK．(2．5)i臼‰该命题为构造关于有限压缩映射族m的唯一不变子集K提供了另一种方法，换句话说，可以通过一个加细集％递归地生成K(iEN)，从而得到不变集K．我们称序列{4：iENo，是嵌套的(严格嵌套的)，若4一，∈4，i∈N．(4一。c4．，i∈N)命题2．2(文[11]Lemma3．2)设K为关于压缩映射族m的不变子集，假设