Steiner对称化与平面上经Steiner对称化保持直径的凸集

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1、学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。学位论文作者签名：红l趣1日期：刀四年疗月“日学位论文使用授权声明本人完全了解中山大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆、院

2、系资料室被查阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索，可以采用复印、缩印或其他方法保存学位论文。学位论文作者签名：纠拖导师签名：＼移唆’El期：№9年呵月≮日第一章导论第一章导论我们往往希望我们所处理的数学对象具有某些对称性，因为对称性可以在很大程度上简化一些证明过程中的技巧处理，但事实上具备一定对称性的数学对象并不多，因此在保持某些性质的前提下对对象作对称化处理也就有了必要。在众多的对称化工具中，Steiner灵J"称化无疑是最简单但却又最有用的一个。尽管JakobSteincr提出Steiner聂J"称化的初衷在于解决等周不等式问题，但其

3、作用却马上扩展到其它领域，比如经典几何与分析的一些定理证明就需要用到Steiner对称化。本文首先介绍了平面上SteinerX寸称化的定义与基本性质，包括保持测度，保持凸性，周长不增和直径不增。n维SteinerXc寸称化的定义只要将定义中的直线Z换成11．1维超平面L就可以，其操作完全一样，同时Steiner对称化的四个性质可以很容易地推广到高维情况，故不赘述．JakobSteiner最早利用Steiner对称化给出平面上等周不等式的证明，但是他的证明并不正确，最早用这一办法给出证明的是Study。事实上，在二维的情况下SteiIler对称化并没

4、有发挥太大作用，低维的不等式证明可以利用微积分和一些简单的技巧，但是一旦将问题推广到高维则往往会有一些处理上的困难，此时Steiner对称化才发挥出其强大的作用。【1】正因为Steiner对称化如此有效，其本身的研究也就具有一定的价值。在Stc删称化的性质中有保持周长不增与保持直径不增两条。我们自然会问，什么情况下Stcincr又rJ"称化保持周长或者直径不变?关于前一个问题的研究可参见【2】，但是保持周长不变的要求太强了，该文得到的结果是要满足Steiner对称化保持周长不变当且仅当经过对称化后的图形是原图形的一个平移，也即是说原图形关于Z是St

5、einer对称的。定理表明了几乎在所有的情况下，Steiner对称化都会减少周长。关于在什么情况下SteinerRkJ"称化保持直径不变我只在平面上作讨论。同时我的讨论也只局限于凸集。这里有个值得进一步探讨的问题：对于平面上任意给定的有界紧集，我们能否估计出最少需要经过多少次Steiner对称化才能将其变为凸集。尽管SteiIler对称化促使图形趋向于均匀，但却不一定减少图形的凹入部分，甚至还会增加图形的凹入，所以这不是一个平凡的问题。接下来我首先对平面上保持直径不变的基本情况进行讨论分类，并说明除了给出的三种情况再没其他情况符合要求，进而分别根据

6、这三种情况构造出三个具有代表性的凸集。尽管我们可以从特例中看到，保持直径的情况比保持周长的情况乐观得多，但是具备这一性质的凸集的一般刻画仍需作进一步讨论，我也希望在接下来的学习中能够把这个问题推进一步。最后本文介绍了一些Steiner对称化的其他应用，包括一些简单的几何定理证明和最小特征值问题。在最小特征值问题中我们可以看到，借助Steiner对称化这一工具，问题的解决思路变得相当明朗，由此我们对Steiner对称化的应用价值也可见一斑。一2一第二章Steiner,对称化第二章Steiner对称化2．1Steiner对称化的定义和性质定义2．1：令

7、Qc群为一有界区域且边界分段可微，Z为平面上经过原点的直线，通过旋转可令，与X轴重合。对Vz∈L记：瓯={z+ye2，fl∈耐易见Gz为经过。点的垂线，又记Q与Q相交截线段的长度为：m霉=IQn瓯1．将每段G0与Q相交截线段的中点平移到Z上得到：st(a)={z+ye2，jz，z+ze2∈Q&一互1m霉≤∥≤三m霉>则称此过程为沿着Z方向对Q作Steiner对称化。，如图2．1所示．命题2．2：Steincr舜J"称化保持lebesgue澳[I度。证明：记u为Q在址的投影，利用Fubini定理有：，y(Q)。Z印(／yEG．nn咖)如．，霉∈u_，

8、nn=Z叫咄=Z印(Z∈瓯n岛(锄ey)dz=y(&(Q))命题2．3：Steincr对称化将凸集变为凸集。●证明：用反证