第02讲 平面问题-1-09_560401705

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1、有限元法与应用有限元法与应用(第二讲)清华大学汽车工程系结构分析与CAE研究室第第22章章弹性力学基础知识弹性力学基础知识2.12.1引言引言2.22.2位移、应力和应变位移、应力和应变2.32.3平衡方程（应力关系）平衡方程（应力关系）2.42.4几何方程（应变与位移关系）几何方程（应变与位移关系）2.52.5物理方程（应力与应变关系）物理方程（应力与应变关系）2.62.6弹性力学求解方法简介弹性力学求解方法简介2.72.7弹性力学平面问题（二维问题）弹性力学平面问题（二维问题）2.72.7弹性力学平面问题弹性力学平面问题

2、((二维问题二维问题))2.7.1平面应力(PlaneStress)等厚度平板(t<

3、力状态为平面应力状态。汽车工程系结构分析与CAE研究室2.72.7弹性力学平面问题弹性力学平面问题((二维问题二维问题))对于平面应力状态:⎧∂σx∂τxy⎪++=X0⎪∂∂xy平衡方程:⎨(2-8)∂∂τσ⎪xyy++Y=0⎪⎩∂∂xy⎡⎤∂⎢⎥0⎧⎫⎢⎥∂xεx⎪⎪⎢⎥∂⎧⎫u几何方程:⎨⎬εy=⎢⎥0(⎨⎬2-9)⎪⎪⎢⎥∂y⎩⎭vγ⎩⎭xy⎢⎥∂∂⎢⎥⎣⎦∂∂yx⎡⎤⎧σx⎫⎢1μ0⎥⎧εx⎫⎪⎪E⎢⎥⎪⎪物理方程：⎨σy⎬=⎢μ10⎥⎨εy⎬2⎪⎪1−μ⎢⎥⎪⎪1−μτγ⎩xy⎭⎢00⎥⎩xy⎭⎣2⎦[D]汽车工程

4、系结构分析与CAE研究室2.72.7弹性力学平面问题弹性力学平面问题((二维问题二维问题))平面应力举例qqq汽车工程系结构分析与CAE研究室2.72.7弹性力学平面问题弹性力学平面问题((二维问题二维问题))2.7.2平面应变(PlaneStrain)Z向尺寸远大于x，y向尺寸的柱体外力平行xy平面且沿z轴均匀y可假设:柱体任一横截面受力变形相同xz则:柱内任一点的应力、应变和位移与z无关仅为（x，y）的函数，且有：T位移分量：w=0{}{}du=v汽车工程系结构分析与CAE研究室2.72.7弹性力学平面问题弹性力学平面问

5、题((二维问题二维问题))应变分量：γ=γε==0zxzyzT{}{}εε=⎯εγ⎯→(平面应变）xyxy*板内任意一点的应变状态为平面应变状态。应力分量：T{}{σσ=στ}xyxyτ==τ(??)zxzyσ=(??)z汽车工程系结构分析与CAE研究室2.72.7弹性力学平面问题弹性力学平面问题((二维问题二维问题))对于平面应变状态:平衡方程与平面应力相同（见（2－8）式）几何方程与平面应力相同（见（2－9）式）⎡μ⎤物理方程⎢10⎥⎢1−μ⎥E(1−μμ)⎢⎥{σ}=[D]{ε}[]D=⎢10⎥(1+−−μμμ)(12

6、)1⎢⎥⎢12−μ⎥⎢00⎥其中，弹性矩阵与平面应力稍有不同。⎣2(1−μ)⎦作业：试导出以上方程！汽车工程系结构分析与CAE研究室2.72.7弹性力学平面问题弹性力学平面问题((二维问题二维问题))Eμ事实上,平面应力问题的物理方程中的E→→,μ211−μ−μ即可得到平面应变问题的物理方程(试证明之!)平面应变实举例：圆筒水坝轨道汽车工程系结构分析与CAE研究室2.72.7弹性力学平面问题弹性力学平面问题((二维问题二维问题))平面应力问题和平面应变问题:{σε}{},,{d}仅为(x,y)的函数平衡方程、几何方程完全相同

7、，物理方程形式相同。解法完全相同。----------通称弹性力学平面问题（二维固体问题）汽车工程系结构分析与CAE研究室2.72.7弹性力学平面问题弹性力学平面问题((二维问题二维问题))•实例1、托架系统yxtz+t→0平面应力t→∞平面应变tt汽车工程系结构分析与CAE研究室2.72.7弹性力学平面问题弹性力学平面问题((二维问题二维问题))实例2、厚臂圆柱受沿轴线均布的内压ql平面应变l→+∞平面应力+l→0qqll汽车工程系结构分析与CAE研究室第第33章章平面问题的有限元分析平面问题的有限元分析弹性力学是偏微分方

8、程的边值问题对一般（复杂）弹性体和边界条件不能得到解答。最有效的方法是近似数值方法——有限元方法有限元方法本章以平面问题(托架结构)为例说明有限元方法的基本原理和分析过程。第第33章章平面问题的有限元分析平面问题的有限元分析3.13.1有限元模型有限元模型3.23.2单元分析单元分析3.3