2020版高中数学第四章导数应用章末复习学案北师大版

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1、第四章导数应用章末复习学习目标　1.掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数的极值和最值.2.会用导数解决一些简单的实际应用问题．1．函数的单调性、极值与导数(1)函数的单调性与导数在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内是增加的；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内是减少的．(2)函数的极值与导数①极大值：在点x＝a附近，满足f(a)≥f(x)，当x0，当x>a时，f′(x)<0，则点a叫作函数的极大值点，f(a)叫作函数的极大值；②极小值：在点x＝a附近，满足f(a)≤f(x)，当x

2、，当x>a时，f′(x)>0，则点a叫作函数的极小值点，f(a)叫作函数的极小值．2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．题型一　函数的单调性与导数例1　已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，其中a∈R.(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；(2)试求f(x)的单调区间．考点　利用导数研究函数的单调性题点　求含参数函数的单调区间解　(1)当a＝0时，f(x

3、)＝x2ex，f′(x)＝(x2＋2x)ex，故f′(1)＝3e.即曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为3e，(2)f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex.令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2，①当－2a＝a－2，即a＝时，f′(x)≥0，∴f(x)在R上是增加的；②当－2a时，则当x∈(－∞，－2a)或x∈(a－2，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)上为增函数，当x∈(－2a，a－2)时，f′(x)<0，故f(x)在(－2a，a－2)上为减函数；②当－2a>a－2，即a<时，则当x∈(－∞，a－

4、2)或x∈(－2a，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)上为增函数．当x∈(a－2，－2a)时，f′(x)<0，f(x)在(a－2，－2a)上为减函数．综上所述，当a<时，f(x)的增区间为(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)，减区间为(a－2，－2a)；当a＝时，f(x)的增区间为(－∞，＋∞)；当a>时，f(x)的增区间为(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)，减区间为(－2a，a－2)．反思感悟　(1)关注函数的定义域，单调区间应为定义域的子区间．(2)已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价．(3)分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集．(4

5、)求参数的范围时常用到分离参数法．跟踪训练1　已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在R上是增加的，求a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上是减少的，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．考点　利用函数单调性求变量题点　已知函数单调性求参数解　(1)求导得f′(x)＝3x2－a，因为f(x)在R上是增函数，所以f′(x)≥0在R上恒成立．即3x2－a≥0在R上恒成立．即a≤3x2，而3x2≥0，所以a≤0.当a＝0时，f(x)＝x3－1在R上是增加的，符合题意．所以a的取值范围是(－∞，0]．(2)假设存在实数a，使f(x)在(－1,1)上是

6、减少的，则f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立．即3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，即a≥3x2，又因为在(－1,1)上，0≤3x2<3，所以a≥3.当a＝3时，f′(x)＝3x2－3，在(－1,1)上，f′(x)<0，所以f(x)在(－1,1)上是减少的，即a＝3符合题意．所以存在实数a，使f(x)在(－1,1)上是减少的，且a的取值范围是[3，＋∞)．题型二　函数的极值、最值与导数例2　已知函数f(x)＝x2＋alnx.(1)若a＝－1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；(2)若a＝1，求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；(3)若a＝1，求证：在区间[1，

7、＋∞)上，函数f(x)的图像在函数g(x)＝x3的图像的下方．考点　导数的综合应用题点　导数的综合应用(1)解　由于函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝－1时，f′(x)＝x－＝，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1(舍去)，当x∈(0,1)时，f′(x)<0，函数f(x)是减少的，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)是增加的，所以f(x)在x＝1处取得极小值，且极小值为.(2)解　当a＝1时，f(x)＝x2＋l