11.3 角的平分线的性质 第2课时

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1、人教版八年级（上册）第十一章全等三角形11.3角的平分线的性质(第2课时)角的平分线的性质(2)1、会用尺规作角的平分线.角的平分线上的点到角的两边的距离相等2、角的平分线的性质:OCB1A2PDEPD⊥OA，PE⊥OB因为OC是∠AOB的平分线，所以PD＝PE。用数学语言表述：复习证明：因为OC平分∠AOB，所以∠1=∠2。因为PD⊥OA，PE⊥OB。所以∠PDO=∠PEO。在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠1=∠2，OP=OP，所以△PDO≌△PEO（AAS）。所以PD=PE。PAOBCED12已知：如图，OC平分∠AOB，

2、点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，求证:PD=PE角平分线的性质的证明思考：要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００米，应建在何处？（比例尺1：20000）ＳＯ公路铁路反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．求证：点Q在∠AOB的平分线上．思考证明:因为QD⊥OA，QE⊥OB（已知），所以∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义）。在Rt△QDO和Rt△QEO中，QO＝QO（公共边），QD=QE，所以

3、Rt△QDO≌Rt△QEO（HL）。所以∠QOD＝∠QOE所以点Q在∠AOB的平分线上。已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．求证：点Q在∠AOB的平分线上．到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。因为QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．所以点Q在∠AOB的平分线上．用数学语言表述：如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F，且BE＝CF。求证：AD是△ABC的角平分线。ABCEFD例：如图,△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等因为

4、BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,ABCPMNDEF所以PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).同理,PE=PF.所以PD＝PE=PF.即点P到三边AB、BC、CA的距离相等。证明：过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F。利用结论，解决问题练一练1、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建?想一想在确定度假村的位置时,一定要画出三个角的平分线吗?你是怎样思考的?你是如何证明的?拓展与延伸2、直线表示三条相互交叉的公路

5、,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:()A.一处B.两处C.三处D.四处分析:由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。角的平分线上的点到角的两边的距离相等.因为QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上，所以QD＝QE。小结如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．证明：过点F作FG⊥AE于点G，FH⊥AD于点H，FM⊥BC于点M。GHM因为点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE，FM⊥BC，所以FG＝FM。又因为点F在∠CBD的平分线上，FH

6、⊥AD，FM⊥BC，所以FM＝FH。所以FG＝FH。所以点F在∠DAE的平分线上。