2013高考数学单元复习训练8：函数的奇偶性、周期性

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1、课时训练8函数的奇偶性、周期性【说明】本试卷满分100分，考试时间90分钟.一、选择题（每小题6分，共42分）1.对于定义在R上的任何奇函数，均有（）A.f(x)-f(-x)>0B.f(x)-f(-x)≤0C.f(x)·f(-x)>0D.f(x)·f(-x)≤0答案：D2解析：∵f(-x)=-f(x),∴f(-x)f(x)=-f(x)≤0.22.已知f(x)=a-是奇函数，那么实数a的值等于（）x2+1A.1B.-1C.0D.±1答案：A2解析：f(x)为奇函数⇒f(0)=0⇒a-=0⇒a=1.02+123.若a>0,a≠1,f(x)为

2、偶函数，则g(x)=f(x)·loga(x+x+1)的图象（）A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于直线y=x对称答案：C22-12解析：∵g(-x)=f(-x)·loga(-x+x+1)=f(x)·loga(x+x+1)=-f(x)·loga(x+x+1)=-g(x)，∴g(x)为奇函数.4.(2010湖北八校模拟，6)设函数f(x)是定义在R上，周期为3的奇函数，若f(1)<1,2a−1f(2)=,则（）a+11A.a<且a≠-1B.-10D.-1

3、)=f(1-3)=f(1)<1,2a−13a∴-f(2)<1.即-<1.∴>0,即3a(a+1)>0.∴a<-1或a>0.故选C.a+1a+15.已知f(x)是周期为2的偶函数，且在区间［0，1］是增函数，则f(-6.5),f(-1),f(0)的大小关系为（）A.f(-6.5)

4、，1］单调递增，∴f(0)0),那么不等式xf(x)<0的解集是（）A.{x

5、0

6、-aa}C.{x

7、-a

8、x<-a或0

9、解析：令x=-1,则f(1)=f(-1)+f(2)，即f(2)=2f(1)=1；令x=3,则f(5)=f(3)+f(2)=［f(1)+f(2)］+f(2)=.2二、填空题（每小题5分，共15分）28.(2010全国大联考，14)已知f(x)为偶函数,g(x)是奇函数，且f(x)-g(x)=x+x-2,则f(x),g(x)分别为___________________.2答案：x-2,-x222解析：∵f(x)-g(x)=x+x-2,∴f(x)+g(x)=x-x-2，故f(x)=x-2,g(x)=-x.9.若φ(x)与g(x)都是奇函数，且

10、f(x)=aφ(x)+bg(x)+2在（0，+∞）上有最大值5，则f(x)在（-∞，0）上有最____________值，该值等于______________.答案：小-1解析：设h(x)=f(x)-2,∴h(x)=aφ(x)+bg(x),∵φ(x)与g(x)都是奇函数,∴h(x)是奇函数，由题可知h(x)在（0，+∞）上的最大值为3；故h(x)在（-∞，0）上有最小值，该值为-3，即f(x)-2在（-∞，0）上有最小值为-3,∴f(x)的最小值为-1.10.试构造一个函数f(x),x∈D,使得对一切x∈D有

11、f(-x)

12、=

13、f(x)

14、

15、恒成立，但是f(x)既不是奇函数又不是偶函数，则f(x)可以是______________.2⎧x(

16、x

17、≤1),答案：f(x)=⎨(答案不唯一)⎩x(

18、x

19、>1).解析：f(x)的图象部分关于原点对称,部分关于y轴对称,故可以用分段函数来构造.三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分）211.是否存在实数a，使得函数f(x)=log2(x+x+2)-a为奇函数，同时使函数g(x)=1x(+a)为偶函数？证明你的结论.xa−1证明：若f(x)是奇函数,则f(x)+f(-x)=0,即22log2(x+x+2)+log2

20、(-x+x+2)-2a=0.221整理得log2(x+2-x)-2a=0,∴a=.2若g(x)为偶函数,则g(x)-g(-x)=0,即11x(+a)+x(+a)=0.x−xa−1a−11化简，得x(-1+2