《简单的线性规划问题》学案

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1、简单的线性规划问题xyo一、线性规划在实际中的应用：线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用：例5、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，

2、0.07kg脂肪，花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？食物／kg碳水化合物／kg蛋白质/kg脂肪／kgA0.1050.070.14B0.1050.140.07分析：将已知数据列成表格二、例题解：设每天食用xkg食物A，ykg食物B，总成本为z那么目标函数为：z＝28x＋21y作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域把目标函数z＝28x＋21y变形为xyo5/75/76/73/73/76/7它表示斜率为随z变化的一组平行直线系是直线在y轴上的截距，当截距最小时，z的值最小.M如图可见，当直线z＝28

3、x＋21y经过可行域上的点M时，截距最小，即z最小.M点是两条直线的交点，解方程组得M点的坐标为：所以zmin＝28x＋21y＝16由此可知，每天食用食物A143g，食物B约571g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元.例6、某人准备投资1200万元兴办一所完全中学。对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）分别用数学关系式和图形表示上述限制条件。若根据有关部门的规定，初中每人每年可收学费1600元，高中每人每年可收学费2700元。那么开设初中班和高中班多少个？每年收费的学费总额最多？学段班级学生数配备教师数初中45226／班2／

4、人高中40354／班2／人把上面四个不等式合在一起，得到yx2030402030o另外，开设的班级不能为负，则x≥0，y≥0.而由于资金限制，26x＋54y＋2×2x＋2×3y≤1200解：设开设初中班x个，高中班y个。因办学规模以20～30个班为宜，所以，20≤x＋y≤30yx2030402030o由图可以看出，当直线Z＝7.2x＋10.8y经过可行域上的点M时，截距最大，即Z最大.设收取的学费总额为Z万元，则目标函数Z＝0.16×45x＋0.27×40y＝7.2x＋10.8y.Z＝7.2x＋10.8y变形为它表示斜率为的直线系，Z与这条直线的截距有关.M易求得M

5、（20，10），则Zmax＝7.2x＋10.8y＝252故开设20个初中班和10个高中班，收取的学费最多，为252万元.例7、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t.现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料.列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？解：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：xyo解：设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮，能够

6、产生利润Z万元。目标函数为Z＝x＋0.5y，可行域如图：把Z＝x＋0.5y变形为y＝－2x＋2z，它表示斜率为－2，在y轴上的截距为2z的一组直线系.xyo由图可以看出，当直线经过可行域上的点M时，截距2z最大，即z最大.故生产甲种、乙种肥料各2车皮，能够产生最大利润，最大利润为3万元.M容易求得M点的坐标为（2，2），则Zmin＝3三、练习题某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、2000元，甲、乙产品都需要在A、B两种设备上加工，在每台A、B上加工1件甲所需工时分别为1h、2h，A、B两种设备每月有效使用台数分别为400h和500h.如何安排

7、生产可使收入最大？设每月生产甲产品x件，生产乙产品y件，每月收入为z，目标函数为Z＝3x＋2y，满足的条件是Z＝3x＋2y变形为它表示斜率为的直线系，Z与这条直线的截距有关.xyO400200250500当直线经过点M时，截距最大，Z最大.M解方程组可得M（200，100）Z的最大值Z＝3x＋2y＝800故生产甲产品200件，乙产品100件，收入最大，为80万元.四.课时小结线性规划的两类重要实际问题的解题思路：1.应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数.2.用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解.(一