三角形的等积变形(一)

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1、年级四年级学科奥数版本通用版课程标题三角形的等积变形（一）编稿老师李允一校林卉二校张琦锋审核张舒这节课，我们一起来学习三角形的等积变形，它是几何问题中在求直线型面积时，很重要的一个部分，下面我们就来研究一下三角形的面积与它的底和高三者之间的关系。三角形面积的计算公式：S＝底×高÷2三角形面积、底和高之间的关系：从公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）；如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）；①当三角

2、形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化。②当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化。一个三角形的面积变化与否取决于它的底和高的乘积，而不仅仅取决于底或高的变化。③一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状。重要结论：①等底等高的两个三角形面积相等。②若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。③若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积

3、的几倍。例1如图，在△ABC中，D是BC边上一点，BD＝12厘米，DC＝4厘米。（1）求△ABC的面积是△ABD面积的多少倍；（2）求△ABD的面积是△ADC面积的多少倍。分析与解：因为△ABD、△ABC和△ADC分别以BD、BC和DC第5页版权所有不得复制为底时，它们的高都是过A点向BC边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。因为，12＋4＝16，16÷12＝，所以△ABC的底是△ABD的底的倍，所以，△ABC的面积是△ABD面积的倍；同理，因为12÷4＝3，所以△ABD的面积是△ADC面积的

4、3倍。巩固理解结论：两个三角形等高时，面积的倍数＝底边长的倍数。例2如图，E在AD上，AD垂直于BC，AD＝12厘米，DE＝3厘米。求△ABC的面积是△EBC面积的几倍。分析与解：因为AD垂直于BC，所以当BC为△ABC和△EBC的底时，AD是△ABC的高，ED是△EBC的高。于是：△ABC的面积＝BC×12÷2＝BC×6；△EBC的面积＝BC×3÷2＝BC×1.5。所以△ABC的面积是△EBC的面积的4倍。巩固理解结论：两个三角形等底时，面积的倍数＝高的倍数。例3如图，在梯形ABCD中，AC与BD

5、是对角线，其交点为O，求证：△AOB与△COD面积相等。分析与解：∵△ABC与△DBC等底等高，∴＝。又∵＝－，＝—，∴＝。第5页版权所有不得复制例4如图，△ABC的面积是24，D、E和F分别是BC、AC和AD的中点。求△DEF的面积。分析与解：∵D是BC的中点，∴△ADC的面积是△ABC面积的一半，即24÷2＝12。∵E是AC的中点，∴△ADE的面积是△ADC面积的一半，即12÷2＝6。∵F是AD的中点，∴△DEF的面积是△ADE面积的一半，即△DEF的面积＝6÷2＝3。例5如图所示，在平行四边形

6、ABCD中，E为AB的中点，AF＝2CF，△AFE（图中阴影部分）的面积为8平方厘米。则平行四边形ABCD的面积是多少平方厘米？分析与解：连结FB。因为AF＝2CF，所以△AFB的面积是△CFB的面积的2倍。又因为E为AB的中点，所以△AFB的面积是△AEF的面积的2倍。所以△ABC的面积是△AEF的面积的3倍。又因为平行四边形ABCD的面积是△ABC的面积的2倍，所以平行四边形ABCD的面积是△AFE的面积的3×2＝6倍。因此，平行四边形ABCD的面积为8×6＝48（平方厘米）。（答题时间：30分

7、钟）1.用两种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形。2.如图，在长方形ABCD中，AD为8厘米，AB为3厘米。请问：阴影部分的面积是多少平方厘米？3.如图，在△ABC中，D、E、F分别是BC、AD、BE的三等分点，已知＝27平方厘米，求。第5页版权所有不得复制4.如图所示，梯形ABCD的上底AD长为5厘米，下底BC长为12厘米，腰CD的长为8厘米，过B点作CD的垂线BE，BE的长为9厘米。那么梯形ABCD的面积是多少？5.如图所示，正方形ABCD的边长为10，三角形BEF的面积为30

8、。那么BF的长度为多少？第5页版权所有不得复制1.解：解法一：如图（1），将BC边四等分，连接A与各等分点，则△ABD、△ADE、△AEF、△AFC的面积相等。解法二：如图（2），D是BC的二等分点，E、F分别是AC、AB的中点，从而得到四个等积三角形△ADF、△BDF、△DCE、△ADE。解法三：如图（3），D是BC的四等分点，E、F是AD的三等分点，从而得到△ABD、△AEC、△ECF、△FCD的面积相等。2.解：可以通过等积变形把三个阴影三角形变成长方形的一半，