一元二次方程根与系数的关系典型例题

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1、一元二次方程根与系数的关系【同步教育信息】一.本周教学内容：   一元二次方程的根与系数的关系 ［学习目标］ 1.熟练掌握一元二次方程根与系数的关系（即：韦达定理及逆定理）； 2.灵活运用一元二次方程根与系数关系确定字母系数的值；求关于两根的对称式的值；根据已知方程的根，构作根满足某些要求的新方程。 3.在解题中锻炼分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力； 4.提高自己综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力。 5.体会特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律，有意培养自己发现规律的兴趣，及树立勇于探索规律的精神。 二.重点、难点： 1.教学重点：   一元二次方程

2、根与系数关系及其推导和应用，注意往往不解方程，用两根和与积或各系数就可解决问题，这时解了方程反而更麻烦。 2.教学难点：   正确理解根与系数的关系，掌握配方思想，把某些代数式配成两根和与积的形式才能将系数代入。 【典型例题】 例1.已知方程的一个根是，求它的另一个根及b的值。   分析：含字母系数的一元二次方程中，若已知它的一个根，往往由韦达定理可求另一根，并确定字母系数的值。   解：（方法一）设方程的另一根为，则由方程的根与系数关系得：      解得：   （方法二）由题意：   解得：   根据韦达定理设另一根为x，则      点拨：解法一较简单，主要原因

3、是突出了求解的整体性。  例2.已知方程的两根为，求下列代数式的值：   （1）；（2）；（3）   分析：若方程两根，则不解方程，可求出关于的对称式的值，只须将其配成含有、的形式。   解：由已知，根据韦达定理   （1）   （2）   （3）               点拨：体会配方思想，将代数式配成含有的形式，再代系数即可。  例3.已知：是两个不相等的实数，且满足，那么求的值。   分析：由两个条件可得出为方程的两不等实根，再对所求代数式配方变形。   解：由题意，为的两个不等实根   因而有   又      点拨：善于转化未见过的题，充分挖掘已知条件。

4、  例4.已知关于x的一元二次方程与有一个相同的根，求k的值。   解：（解法一）设方程两根α、β，方程的两根，则有：      由   当时，代入   当时，由   代入   则   代入   把代入<2>中，   或   （解法二）将与相减得：      此时方程根为0或，即题中两方程相同根为0或   （1）若是0则；   （2）若是，则；   或   点拨：两种解法各有千秋，一运用了解方程组思想，二运用了“若方程与有公共根，则公共根必满足方程”的结论。  例5.已知方程   （1）若方程两根之差为5，求k。   （2）若方程一根是另一根2倍，求这两根之积。   

5、分析：对含字母系数的一元二次方程，可根据题设中方程根与系数关系，确定方程系数字母的值。   解：（1）设方程两根与，由韦达定理知：      又      （2）设方程两根，由根系关系知：         点拨：已知两根的关系，应用韦达定理解决系数求值问题。  例6.已知方程两根之比为1：3，判别式值为16，求a、b的值。   分析：必用判别式，又韦达定理知，，显然可求a、b。   解：设已知方程的两根为m，3m   由韦达定理知：   即         把代入   得：   点拨：把判别式、韦达定理综合出题，更易贯通新旧知识。  例7.已知是关于x的一元二次方程的

6、两个实数根。   （1）用含m的代数式表示；   （2）当时，求m的值。   分析：应注意，即可用根系关系。   解：（1）由题意：                                       （2）由（1）得：   解得：   检验：当时，原方程无实根。   ∴舍去   当时，原方程有实根。   ∴   点拨：易忽略检验，要学会灵活应用一元二次方程有关概念，及判别式，根系关系。  例8.已知方程的两根为，求一个一元二次方程，使它两根为和。   分析：所求方程，只要求出的值即可，转化成例2类型了。   解：设所求一元二次方程为      为方程的两根 

7、  ∴由韦达定理   又      ∴所求一元二次方程为   即：   点拨：应用根系关系构造方程，如果方程有两实根，那么方程为，当为分数时，往往化成整系数方程。 ［总结扩展］ 1.一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行。它深化了两根的和与积和系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为进一步使用打下基础。 2.以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力。 3.本节课学习了根与系数的关系的应