资源描述:
《数学人教版八年级上册多个垂直献等角》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、“多个垂直献等角”(12.2)的教学设计教学目标:1.根据“多个垂直”条件的特征,运用“同角或等角的余角相等”,快速证明2个角相等;2.快速证明2个三角形全等。教学重、难点:快速证明2个三角形全等。教学关键;优先利用多个垂直条件(熟记熟用角的互余关系,强调多次运用)为我们贡献1组等角是正确、快速证明2个三角形全等的关键.教学建议:千万不要低估了运用“同角或等角的余角相等”的难度(3步并着1步走是众多数学中等生迈不过去的坎)!优先利用2个垂直的条件(熟记熟用角的互余关系,强调多次运用)为我们贡献1组等角是正确、快速证明2个三角形全等的关
2、键(类似的还有“多个平角献等角”).教学过程:一搭建台阶(有台阶就上得去!)1核心问题(1)如图2-1,AB⊥AE于点A,BD⊥DE于点D,且AE,BD相交于点C,则∠B∠D(用“>”、“=”或“﹤”填空).(2)如图2-2,在△ABC中,∠BAC=90°,且AD⊥BC于点D,则∠BAD∠C,∠DAC∠B(用“>”、“=”或“﹤”填空).(3)如图2-3,B,C,E三点在同一直线上,且AB⊥BC,DE⊥BE,AC⊥CD,则∠A∠DCE,∠D∠ACB(用“>”、“=”或“﹤”填空).2核心问题系统化(说明:图中有相同标记的角都相等)1由
3、核心知识展开的联想二问题和解(数学的真正的组成部分是问题和解)1问题1(问题是数学的心脏)如图2-4,BD、CE分别是△ABC的边AC、AB上的高,点P在BD的延长线上,且BP=AC,点Q在CE上,CQ=AB.求证AP=AQ.教师示范做给学生看!(1)让我想想(自然而然地用数学知识去思考问题、解决问题---优秀生的特点之一)站在学生的角度,顺着学生的思路,自然而然地联想并筛选解题知识的线索.既然图形线密角多,我们就从图形的形成过程中分解出有用的图形,由已知“BD、CE分别是△ABC的边AC、AB上的高”:由已知“BP=AC,CQ=AB
4、”及已经推导出的∠1=∠2:要证两条边相等(注意这两条边不在同一个三角形中),可以考虑转化为证两条边所在的三角形全等.因为AP所在的三角形有:△APB、△APD,AQ所在的三角形有:△AQC、△AQE.观察图形、结合已知条件,△AQC与△ABP全等的可能性更大,要证△AQC与△ABP全等,对应顶点可调整为△ABP≌△QCA.已知条件有BP=AC、CQ=AB.还缺少∠ABP=∠QCA(或AP=AQ,而这是需要求的最终结论,不宜考虑).只能选择∠ABP=∠QCA.从图上看,线密角多,图形复杂,不知从何下手,有的同学不禁要问:“这证的出来吗
5、?”“我可能做不出……,我做不出来……”.由BD、CE分别是△ABC的边AC、AB上的高,利用高的定义得到∠BEO=∠CDO=90°,利用∠1、∠2分别与一组对顶角∠BOE、∠COD互余,根据等角的余角相等推出∠1=∠2,即∠ABP=∠QCA.(2)满分解答证明:如图2-5,(第一步→多个垂直献等角)∵BD、CE分别是△ABC的边AC、AB上的高,∴∠BEO=∠CDO=90°.又∵∠1+∠3=∠2+∠4=90°,∴∠1=∠2.(第二步→证全等)在△ABP和△QCA中:∵AB=QC,∠1=∠2,BP=CA,∴△ABP≌△QCA(SAS)
6、.(第三步→全等得等边)∴AP=AQ.(3)请牢记:习惯于及时追问解题过程中的每一步(一个问题解决之后)---优秀生的特点之二①这一步用上了什么数学知识?②还可以用什么知识吗?寻找一题多解发现知识之间的联系(4)继续探究探究1:还有其他证法思路吗(数学是变换思考角度)?解法2:由BD、CE分别是△ABC的边AC、AB上的高,利用高的定义得到∠BDA=∠CEA=90°,利用∠1、∠2都与∠EAD互余,根据同角的余角相等推出∠1=∠2,即∠ABP=∠QCA.从而证明三角形全等,得出最终结论.思路3:由已知条件BP=AC(想到BP只在唯一的
7、△ABP中,AC在△AEC、△AQC、△ABC中)也可以明确需要证△ABP与△AQC全等.思路4:由已知条件CQ=AB(想到CQ只在唯一的△QCA中,AB在△ABC、△ABD、△ABP中)也可以明确需要证△ABP与△QCA全等.探究2.已知条件不变,我还能发现什么新结论?数学的学习是一个不断思考,探究,发现的过程.继续分析可发现AP、AQ不只是相等,还会互相垂直,证明过程如下:证明:如图2-6,∵△ABP≌△QCA,∴∠1=∠P.∵∠P+∠2=90°,∴∠1+∠2=90°.∴∠QAP=90°,∴AQ⊥AP.探究3.将结论与已知条件中的
8、一项相互交换,能否组成新的命题?并探究其真假.(1)已知:CQ=AB,AQ⊥AP求证:①AQ=AP②BP=AC;(2)已知:BP=AC,AQ⊥AP求证:①AQ=AP②CQ=AB.根据刚才“利用垂直关系转化为角相等”的方法