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1、专题2多个垂直献等角(12.2)雷婷伍友平(江西省南昌县莲塘第五中学)千万不要低估了运用“同角或等角的余角相等”的难度（3步并着1步走是众多数学中等生迈不过去的坎）！优先利用2个垂直这样的条件（熟记熟用角的互余关系，强调多次运用）为我们贡献1组等角是正确、快速证明2个三角形全等的关键（类似的还有“多个平角献等角”）.一搭建台阶（有台阶就上得去！）1核心问题(1)如图2-1,AB⊥AE于点A,BD⊥DE于点D,且AE,BD相交于点C,则∠B∠D(用“＞”、“=”或“﹤”填空).(2)如图2-2，在△ABC中，∠BAC=90°,且AD⊥BC于点D,则∠BAD∠C,∠DAC∠B(用“
2、＞”、“=”或“﹤”填空).(3)如图2-3，B,C,E三点在同一直线上，且AB⊥BC,DE⊥BE,AC⊥CD,则∠A∠DCE,∠D∠ACB(用“＞”、“=”或“﹤”填空).2核心问题系统化（说明：图中有相同标记的角都相等）1由核心知识展开的联想二问题和解（数学的真正的组成部分是问题和解）1问题1(问题是数学的心脏)如图2-4，BD、CE分别是△ABC的边AC、AB上的高，点P在BD的延长线上，且BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB.求证AP＝AQ.（1）让我想想(自然而然地用数学知识去思考问题、解决问题---优秀生的特点之一)站在学生的角度，顺着学生的思路，自然而然地联想并筛
3、选解题知识的线索.既然图形线密角多，我们就从图形的形成过程中分解出有用的图形，由已知“BD、CE分别是△ABC的边AC、AB上的高”:由已知“BP＝AC,CQ＝AB”及已经推导出的∠1=∠2:要证两条边相等（注意这两条边不在同一个三角形中），可以考虑转化为证两条边所在的三角形全等.因为AP所在的三角形有：△APB、△APD，AQ所在的三角形有：△AQC、△AQE.观察图形、结合已知条件，△AQC与△ABP全等的可能性更大，要证△AQC与△ABP全等,对应顶点可调整为△ABP≌△QCA.已知条件有BP＝AC、CQ＝AB.还缺少∠ABP=∠QCA(或AP＝AQ，而这是需要求的最终结
4、论，不宜考虑).只能选择∠ABP=∠QCA.从图上看，线密角多，图形复杂，不知从何下手，有的同学不禁要问：“这证的出来吗？”“我可能做不出……，我做不出来……”.由BD、CE分别是△ABC的边AC、AB上的高，利用高的定义得到∠BEO=∠CDO＝90°，利用∠1、∠2分别与一组对顶角∠BOE、∠COD互余，根据等角的余角相等推出∠1=∠2，即∠ABP=∠QCA.（2）满分解答证明：如图2-5，(第一步→多个垂直献等角）∵BD、CE分别是△ABC的边AC、AB上的高，∴∠BEO=∠CDO＝90°.又∵∠1+∠3=∠2+∠4=90°,∴∠1=∠2.(第二步→证全等)在△ABP和△Q
5、CA中:∵AB＝QC,∠1＝∠2,BP＝CA,∴△ABP≌△QCA（SAS）.(第三步→全等得等边)∴AP＝AQ.（3）请牢记：习惯于及时追问解题过程中的每一步（一个问题解决之后）---优秀生的特点之二①这一步用上了什么数学知识？②还可以用什么知识吗？寻找一题多解发现知识之间的联系③这一步用上的知识是自然而然联想到的吗？请自我评分（同样一个步骤，对不同的学生而言，自然而然地联想到数学知识的程度是不一样的：有的可能是100，有的可能是20，还有的可能是0）；④将其中没有达到100的数学知识单列出来，并试着变成100，使之成为日后可以自然而然地联想到的数学知识.（4）继续探究探究1
6、:还有其他证法思路吗（数学是变换思考角度）？解法2：由BD、CE分别是△ABC的边AC、AB上的高，利用高的定义得到∠BDA=∠CEA＝90°，利用∠1、∠2都与∠EAD互余，根据同角的余角相等推出∠1=∠2，即∠ABP=∠QCA.从而证明三角形全等，得出最终结论.思路3：由已知条件BP＝AC（想到BP只在唯一的△ABP中，AC在△AEC、△AQC、△ABC中）也可以明确需要证△ABP与△AQC全等.思路4：由已知条件CQ＝AB（想到CQ只在唯一的△QCA中，AB在△ABC、△ABD、△ABP中）也可以明确需要证△ABP与△QCA全等.探究2.已知条件不变，我还能发现什么新结论
7、？数学的学习是一个不断思考，探究，发现的过程.继续分析可发现AP、AQ不只是相等，还会互相垂直,证明过程如下：证明：如图2-6,∵△ABP≌△QCA,∴∠1＝∠P.∵∠P＋∠2＝90°，∴∠1＋∠2＝90°.∴∠QAP＝90°，∴AQ⊥AP.探究3.将结论与已知条件中的一项相互交换，能否组成新的命题？并探究其真假.（1）已知：CQ＝AB，AQ⊥AP求证：①AQ=AP②BP＝AC；（2）已知：BP＝AC，AQ⊥AP求证：①AQ=AP②CQ＝AB.根据刚才“利用垂直关系转化为角相等”的方法，不难
