3.9 动力系统中的分岔与近似重整化方法

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1、第十讲分岔现象以及近似重整化方法1、一维不可逆映射中的倍周期分岔x=f(x,C)n+1n其中C为参数。若在考察的x区间存在点使得：∂f(xn,C)=0∂x则称为不可逆映射。它是耗散系统。一般情况下，峰值处：f(x)∂f(x,C)=f'(x)=0,∂xf''(x)≠0x局部二次映射。一般二次映射：2z=a+bz+czn+1nn2通过适当变换可以得到：x=2Cx+2xn+1nnx=−µy,c=−µ就得到Logistic映射：令22y=µy(1−y)n+1nn以下就研究二次映射：2x=2Cx+2xn+1nnC2C2=2(x+)−n22x=0,x=1−C1-不动点：1011

2、2稳定性：f'(x)=2C+4x*−1

3、+2n+1n+1其中：d=2C+4x2+e=2C+4x2−可以通过选择初始值，使得偶下标的∆x在x2+附近；奇下标的∆x在x附近。消去∆x并保留到2−n+1∆x的二次项，得：22∆x=de∆x+2(e+d)∆xn+2nn令：x'=α∆x2x'=2C'x'+2x'代入前一式，可得：n+1nn2其中：C'=de/2=−2C+2C+222α=e+d=16b−12b于是，新映射在C'=−12处发生分岔，代入上式得：1−6C=≈−0.7247422此时两个失稳的2-周期点为：x≈0.466,x≈−0.2412+2−经过该分岔可以得到4-周期不动点。(另一组在C=3/2失稳的2

4、-周期轨道也可以类似计算。)n同样过程，可以重复，于是2(n→∞)分岔发生在：2C=−2C+2C+2∞∞∞1−17C=≈−0.781∞4从迭代的数值结果，可得：C≈−0.78497∞此外，我们还可以得到C→C的收敛率。设：k∞−kC~C+Aδk∞代入前面关系式，并注意到一轨道发生k次分岔等于上一级轨道发生k+1次分岔：2C=−2C+2C+2kk+1k+1于是：δ=−4C+2=1+17≈5.12∞从迭代的数值结果，可得：δ≈4.6692最后，从：2α=16b−12bb=1(C+1)(C−3)2221−17得在聚点C=≈−0.781处：∞42α=16b−12b≈−2.2

5、4严格重整化理论可得：≈−2.5029α类似地，二维映射（保守、耗散都可以近似重整化，并得到标度率）α的几何意义：x'=α∆xfxk+−xk−=α,xk+1,+−xk+1,−∆x2∆x∆x31f(xk+)−f(xk−)2=αxf(xk+1,+)−f(xk+1,−)x*=−C22∆x~(∆x),21二次映射∆x~∆x的特点：31x∆x

6、α

7、x=x*=−C2∆xCC3C2C1∆x2

8、α

9、2、二维报面积映射中的倍周期分岔采用以下形式的二维映射：2x+x=2Cx+2xn+1n−1nn该映射可以写成：y=xn+1n2x=−y+2Cx+2xn+1nnn其Jacobi矩阵01

10、−12C+4x的行列式为1，故为保面积映射。0.4C=-0.90.2x0.0-0.2-0.4-0.20.00.20.4y0.100.50C=-0.9C=-1.020.050.250.00x0.00x-0.05-0.25-0.10-0.10-0.050.000.050.10-0.50y-0.50-0.250.000.250.50y0.4C=-1.050.20.0x近一步分岔-0.2-0.4-0.4-0.20.00.20.4y