高数偏导数复习

《高数偏导数复习》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、1.偏导数求解方法：22例题：求z=x3xyy在(1,2)处的偏导数.解：把y看作常量，得z23xyx把x看作常量，得z32xyy将（1,2）带入上述结果，就得zx1

2、21328y2xzx1

3、31227y2y2.高阶偏导数求解方法.设函数z(x,y)f在区域D内具有偏导数zzf(x,y)f(x,y)xxyy按照对变量求导次序不同有下列四个二阶偏导数：22zzzz()f(x,y)()f(x,y)2xx,xyxxxyxx

4、y22zzzz()f(x,y)()f(x,y)yx,2yyxyyxyyy3.全微分.(求偏导数后加上dxdy,)函数zf(x,y)的全微分：zzdzdxdy.xyxy例题：计算函数ze在点(2,1)处的全微分.zzxyxy解：yexe,xyzz22

5、xx,

6、222eexyyy1122所以dzedxedy24.多元复合函数求导法则(先求偏导数，再对复合函数求偏导数).tdy例题1：设zuvsint，而ue，vtcos，求全导数。

7、dtdzzduzdvzt解：veusintcostdtudtvdtttttetecostsintetcostt(cossin)cos222z例题2：求zf(xy,xy)的（其中f具有二阶连续偏导数）.2x解：2zz2''()(2)yffyx212xxxx'2'f1yyfx2()2xx22'''''2''2''yfxyf(y2yf)2(xyf2xyf)1112221224''3''22''y44fxyfxyf1112225.隐函数

8、求导公式.定理1：设函数F(x,y)在点P(x,y)的某一领域内具有连续偏导数，且00F(x,y)0，F(x,y)0在点(x,y)的某一领域内恒能唯一确定一个连00y0000续且具有连续导数的函数yf(x)，它满足条件yf(x)，并有00dyFx.dxFy定理2：设函数F(x,y,z)在点P(x,y,z)的某一领域内具有连续偏导数，000且F(x,y,z)0，F(x,y,z)0在点(x,y,z)的某一领域内恒能唯一确000z000000定一个连续且具有连续导数的函数zf(x,y)，它满足条件zf(x

9、,y)，并有000zFxzFy，.xFyFzz222dz

10、例题：设方程xyzxyz2确定隐函数zz(x,y)，求(1,0,1).222解：令Fxyz(x,y,z)xyz2xyFxyz，Fyxz222222xyzxyzzFzxy222xyz222222zFxyzxyzxzFyxzxyzyxFzxyxy22z2zyFzxyx22y2zzzz

11、(1,0,1)1,

12、2(1,0,1)xydz

13、(1,0,

14、1)dx2dy.6.空间曲线的切线和法平面。设曲线的参数方程为x(t),y(t),z(t)(t，三个函数在[,]上可导).取曲线上一点M(x,y,z),则曲线在M点000处的切线方程为xxyyzz000'''(t)(t)(t)切线方向向量成为切向量，向量'''T((t),(t),(t))就是曲线在点M的一个切向量.法平面过M(x,y,z)，且以T为法向量，法平面方程为000'''(t)(x)x(t)(yy)000(t)(zz)023例题：求曲

15、线xtytz,,t在点(1,1,1)处的切线及法平面.'''2解：因为x1,2,3ytzt。而点(1,1,1)所对应的参数t=1，所以tttT(1,2,3)切线方程为xyz111123法平面方程为(x1)2(y1)3(z1)0即xyz236.7.曲面的切平面与法线.设曲面由F(x,y,z)0给出，M(x,y,z)是曲面上的一点.000垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量，向量n(F(x,y,z),F(x,y,z),F(x,y,z))x000y000z000就是曲面

16、在点M处的一个法向量。曲面的切面方程是F(x,y,z)(xx)F(x,y,z)(yy)F(x,y,z)(zz)0x0000y0000z0000曲面的法线方程是xxyyzz000.F(x,y,z)F(x,y,z)F(x,y,z)vx000y000z00022例题：求旋转抛物面zxy1在点(2,1,4)的切