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1、第二节一、偏导数概念及其计算二、高阶偏导数偏导数第八章一、偏导数定义及其计算法引例:研究弦在点x0处的振动速度与加速度,就是中的x固定于求一阶导数与二阶导数.x0处,关于t的将振幅定义1.在点存在,的偏导数，记为(x0,y0)的某邻域内则称此极限为函数极限设函数注意:同样可定义对y的偏导数若函数z=f(x,y)在域D内每一点(x,y)处对x则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数,记为或y偏导数存在,例如,三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.偏导数定义为(请自己写出)二元函数偏导数的几何意义:是曲线在点M
2、0处的切线对x轴的斜率.在点M0处的切线斜率.是曲线对y轴的函数在某点各偏导数都存在,显然例如,注意：但在该点不一定连续.在上节已证f(x,y)在点(0,0)并不连续!1997年研究生考题,选择,3分例1.求在点(1,2)处的偏导数.解：把x视为变量，其余视为常数，得把y视为变量，其余视为常数，得这就是两个偏导函数。它们在点处的偏导数值分别是：偏导数记号是一个例2.已知理想气体的状态方程求证:证:说明:(R为常数),不能看作分子与分母的商!此例表明,整体记号,例3.求将y视为变量,其余视为常数,则u为关于y的指数函数,类似可得.的偏导数.解:将x视为变量,其
3、余视为常数,则u为关于x的幂函数,所以所以例4+.设证:求证二、高阶偏导数设z=f(x,y)在域D内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导数:类似可以定义更高阶的偏导数.例如，z=f(x,y)关于x的三阶偏导数为z=f(x,y)关于x的n–1阶偏导数,再关于y的一阶偏导数为定理.如果函数Z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数在区域内D连续，那么这两个二阶混合偏导数在区域D内相等。即:例5.设解:求:多元函数的偏导数常常用于建立某些偏微分方程.偏微分方程是描述自然现象、反映自然规律的
4、一种重要手段.例如方程(a是常数)称为波动方程,它可用来描述各类波的运动.又如方程称为拉普拉斯(laplace)方程,它在热传导、流体运动等问题中有着重要的作用.例6.验证函数证因为所以因此满足方程例7.证明函数满足拉普拉斯证：利用对称性,有方程练习1.求函数解:注意:此处但这一结论并不总成立.的二阶偏导数及练习2二者不等内容小结1.偏导数的概念及有关结论定义;记号;几何意义函数在一点偏导数存在函数在此点连续混合偏导数连续与求导顺序无关2.偏导数的计算方法求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时,应选择方便的
5、求导顺序)备用题设方程确定u是x,y的函数,连续,且求解:机动目录上页下页返回结束则定理.例如,对三元函数u=f(x,y,z),说明:本定理对n元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续时,有而初等(证明略)证(略):令则则定理令同样在点连续,得
