高中数学史资料集 黄金分割素材

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1、黄金分割（浙江省宁波市镇海区外语实验学校315200）余满龙在初中数学的相似形这一章中有“黄金分割”的简单介绍：把一条线段（PQ）分成两条线段，使其中较大的线段（PC）是原线段（PQ）与较小线段（CQ）的比例中项，这种分法用途广泛，且美观，所以人们把它称为黄金分割也称“中外比”或“中末比”。（如图1）Kheops(公元前2800年)金字塔世界上最早接触黄金分割的是古希腊的毕达哥拉斯学派。公元前4世纪（二千多年前），古希腊数学家欧多克斯（约公元前408～公元前355）第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。他发现:在这个几何问题里，若CQ与PC之比等于PC与PQ之比，那么这一比值就等于

2、0.608…，用式子表示就是:这个神奇的数字已经让我们着迷了几千年但实际上，这个黄金分割很早就存在了，我们从Andros神庙(公元前10000年)就可以看出,而Kheops(公元前2800年)金字塔(如右图)表现的尤为明显。几何学家，哲学家和建筑师都认为黄金分割是一组非常奇特的比例，是一种空间的和谐，能够组成精确的比例。公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克斯的工作，系统论述了黄金分割，成为最早的有证论著。欧多克斯就是从整个比例论的角度考虑黄金分割，他还把上述的C点分PQ所成的比PC:CQ叫做“中外比”。欧多克斯发现这种线段之间的中外比关系存在于许多图形中。如正五边形中

3、，相邻顶角的两条对角线互相将对方分成中外比，而较长的一段等于正五边形的边。如果将有理线段分成中外比，那末被分成的两个线段长是无理数。文艺复兴时期的欧洲，由于绘画艺术的发展，促进了对黄金分割的研究。当时，出现了好几个身兼几何学家的画家，著名的有帕奇欧里、丢勒、达•芬奇等人。他们反几何学上图形的定量分析用到一般绘画艺术，从而给绘画艺术确立了科学的理论基础。1228年，意大利数学家斐波那契在《算盘书》的修订本中提出“兔子問題”，导致斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……，它的每一项与后一项比值的极-3-限就是黄金分割数，即黄金分割形成的线段与全线段的比值。(即

4、设F1=1，F2=1，Fn=Fn-2+Fn-1，n≥3，则)莱奥纳多·达·芬奇(1452-1519)1525年丢勒制定了充分吸收黄金分割几何意义的比例法则，揭示了黄金分割在绘画中的重要地位。丢勒以为，在所有矩形中，黄金分割的矩形，即短边与长边之比为的矩形最美观。因为这样的矩形，“以短边为边，在这个矩形中分出一个正方形后，余下的矩形与原来的矩形相似，仍是一个黄金分割形的矩形”，这使人们产生一种“和谐”的感觉。后来意大利伟大画家达·芬奇(1452-1519)(如右图)把欣赏的重点转到使线段构成中外比的分割，而不是中外比本身，提出了“黄金分割”这一名称。这一命名一直延用至今。欧洲中世纪的物理学

5、家和天文学家开普勒（J．Kepler1571—1630），曾经说过：“几何学里有二个宝库：一个是毕达哥拉斯定理（我们称为“商高定理”）；另外一个就是黄金分割。前面那个可以比着金矿，而后面那一个可以比着珍贵的钻石矿。希腊数学家把这个几何问题里的点C称为把线段黄金分割（Goldensection）。C点叫“黄金分割点”。可以证明，PC=PQ，这个数≈0.618以往的数学家称为“黄金分割数”（Goldennumber）简称“黄金数”，“黄金数”倒数叫“黄金比”，顶角为36°的等腰三角形叫“黄金三角形”。古时候的希腊人认为一个人有完美的（或理想的）体型是肚脐那一点把头到脚“黄金分割”。因此一些艺

6、术家画的人像以及古代雕塑像，大多数是以这个为比例。人体相关各部分之间是符合黄金分割率的，在躯干部分，乳房位置的上下长度比；咽喉至头顶和至肚脐之比；膝盖至脚后跟和至肚脐之比等，都是黄金分割数0.618的近似数。如果人体上述部分比例均符合黄金律的话，就显得协调匀称。古希腊断臂维纳斯、雅典娜女神和“海姑娘”阿曼达，其体型结构比例完全符合黄金律，美妙绝伦。 中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，据说毕达哥拉斯学派是一个秘密团体，为了保证了学派不被外人流入，他们以一个比较难画的几何图形——正五角星作为学派的会章，而画正五角星就是以黄金分割作依据的。意大利数学家帕奇欧里(1445～1514)，首先把“

7、中外比”称为“神圣比例”，并专门为此著书立说。德国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割。到19世纪黄金分割这一名称才逐渐通行黄金分割数有许多有趣的性质，它的实际应用也很-3-广泛。最著名的例子是优选学中的黄金分割法或0.618法，是由美国数学家基弗于1953年首先提出的，70年代在中国推广，取得很大成绩。黄金分割是普遍存在的自然现象。如作正五边形或正五角星时涉及到黄金分割；舞台上的报幕员和独唱演员，通常不站在舞台前沿的中点而是在舞台宽