利用辅助圆探究特殊角的点的问题

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1、中考综合与应用专题构造辅助圆探究满足特殊角的点问题教材中的地位：圆是初三几何中的重要学习内容之一，对于培养学生的分析能力、逻辑推理思维能力、解决实际问题能力有着重要的作用。圆的相关知识是中考必考内容，从基础知识检测到综合应用考查都出现在试卷里。圆和函数图象、圆和直线型图形可以构成复杂的几何问题。圆的重要性质和平面直角坐标系、函数、方程、面积等知识就组成了综合性强、涉及面广、图形变化大的中考压轴题。如14题和25题。背景分析：利用辅助圆探究满足特殊角的点问题近9年考查4次，尤其在近三年连续考查。由此可见该部分知识的重要性。教学目标：1、能通过课堂探究与交流掌握

2、辅助圆的集中构造方法；2、能在学习探究过程中发现特殊角的动点、定线段问题是辅助圆的变化角问题，并能理解二者之间的关系；3、在交流互动中体会数学建构思想，发展数学分析、解决问题能力。教学重难点：理解并掌握根据条件构造包含不同特殊角度的辅助圆方法与依据。教学教法：导学案引导小组互动交流类比归纳教学过程：一：试卷错例展示。试卷分析：在本次模考中，14题，25题合计15分，全年级得分率不足2%。绝大部分同学这两题不得分。而这两个题目都涉及到同一个数学问题——构造辅助圆。二：相关理论基础复习：圆周角性质定理及推论。三：课堂探究与交流：探究一：请在正方形ABCD内部画出

3、一个使∠APB＝90°的点P.请在正方形ABCD内部画出所有使∠APB＝90°的点P.DBCA思考：什么条件让你想到可以构造一个辅助圆，构造辅助圆的依据是什么？分析：如果直角顶点是动点，所对边是定长，可以构造辅助圆。方法：当遇到90°角的顶点是动点时，通常以定边（斜边）为直径构造辅助圆。构造辅助圆依据：直径所对的圆周角是直角。90°圆周所对的弦是直径。试卷纠错：14题、如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是BC边上的动点，交CD于点F,垂足为G,连接CG。则CG的最小值是AGFEDCB探究二：请在正方形ABCD内找出一个使∠APB＝60°的点P.请在正方形

4、ABCD内画出所有使∠APB＝60°的点P.DBCA思考：什么条件让你想到可以构造一个辅助圆，构造辅助圆的依据是什么？分析：方法：当遇到60°角的顶点是动点时，通常以定边为边长作等边三角形，再作该三角形的外接圆来构造辅助圆。构造辅助圆依据：不在同一直线上的三点可以确定一个圆；同弧所对的圆周角相等。试卷纠错：25题（1）如图1，已知矩形ABCD()，请在边BC上画出使∠APB＝60°的一点P（P不与B、C重合），并说明理由。ABCD探究三：请在正方形ABCD的边AB上方，画出所有使∠APB＝45°的点P.DBCA思考：什么条件让你想到可以构造一个辅助圆，可以构

5、造辅助圆的依据是什么？分析：如果45°角顶点是动点，所对边是定长，可以构造辅助圆。方法1：当遇到45°角的顶点是动点时，也可以以定边为直角边作等腰直角三角形，再作它的外接圆来构造辅助圆。方法2：当遇到45°角的顶点是动点时，可以以定边为斜边作等腰直角三角形，再以直角顶点为圆心，直角边为半径来构造辅助圆。构造辅助圆依据：不在同一直线上的三点可以确定一个圆；同弧所对的圆周角相等，并且是它所对圆心角的一半。探究四：请在正方形ABCD的边AB上方，画出所有使∠APB＝30°的点P.DBCA思考：什么条件让你想到可以构造一个辅助圆，可以构造辅助圆的依据是什么？分析：如

6、果30°角顶点是动点，所对边是定长，可以构造辅助圆。方法：当遇到30°角的顶点是动点时，通常以定边为边长作等边三角形，再以第三个顶点为圆心，边长为半径作圆来构造辅助圆。构造辅助圆依据：同弧所对的圆周角相等，并且是它所对圆心角的一半。应用：ABDCE1、如图，在长方形ABCD中，AB=6，BC=4，在长方形内部以CD边为斜边任意作Rt∆CDE,连接AE，求线段AE长的最小值。2、在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA=90°时，点C的坐标为当∠BCA=45°时，点C的坐标为变式：如果把∠BCA=45°改成∠B

7、CA=30°，还会做吗？小结：谈谈自己的收获作业：1、尺规作图：已知线段a,b()求作一个直角三角形，使得斜边长为b，一直角边长为a。2、在等边△ABC的内部找出一点D，使得∠BDC＝120°，并说明理由.3、如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝12，AD是BC边上的高，点E、F分别为边AB、AC的中点．当AD＝6时，BC边上存在一点Q，使∠EQF＝90°，求此时BQ的长．