二次函数的运用

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1、二次函数的运用（1）一、学生知识状况分析在学习《二次函数的运用》之前，学生已经掌握二次函数的三种表达式、二次函数的图像与性质，并且学生已经经历过将实际问题转化为数学问题来解决问题的过程，对解决这类问题有了一定经验。二、教学目标知识目标：能分析和表示出不同情景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数的知识解决实际问题中的最大值或最小值。能力目标：1．通过分析和表示不同情景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养学生的分析判断能力。2．通过运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力。情

2、感态度与价值观：1．经历探究矩形和窗户透光最大面积问题的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值。2．能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格。3．进一步体会数学与生活实际的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学习的信心，具有初步的创新精神和实践能力。三、教学重点1．经历探究矩形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值。2．能分析和表示不同情景下实际问题中变量之间的

3、二次函数关系，并能运用二次函数的知识解决实际问题。四、教学难点能分析和表示不同情景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数的有关知识解决最大面积的问题。五、教学过程(一)、创设情境，引入新课探究一：学生作图，作一个AE=40m，AF=30m的直角三角形，在其内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上。(1)如果设矩形的一边AB=xm,请表示出边AD的长度（在自己所作的图上表示出来）？(2)设矩形的面积ym2，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？ 设计目的：对于这个问题，教师将其

4、作为例题，不论是对问题本身的分析，还是具体的解法过程，都将作出细致、规范的讲解和示范。具体的过程如下：分析：(1)要求AD边的长度，即求BC边的长度，而BC是△EBC中的一边，因此可以用三角形相似求出BC。由△EBC∽△EAF，得即．所以AD＝BC＝(40－x).(2)要求面积y的最大值，即求函数y＝AB·AD＝x·(40－x)的最大值，就转化为数学问题了．即y＝x·(40－x)y＝－(x－20)2＋300．当x＝20时，y最大＝300．所以当x取20m时，y的值最大，最大值是300m2．探究二：如果把矩

5、形改为如下图所示的位置，其顶点A和顶点D分别在两直角边上,BC在斜边上.其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？设计目的：通过两种情况的分析，训练学生的发散思维能力，关键是教会学生方法，也是这类问题的难点所在，即怎样设未知数，怎样转化为我们熟悉的数学问题。在此基础上对变式三进行探究，进而总结此类题型，得出解决问题的一般方法。(二)、例题讲解某建筑物的窗户如下图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m．当x等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)

6、？此时，窗户的面积是多少？（结果精确到0.01m2）           分析：x为半圆的半径，矩形的较长边就为2x，设矩形的较短边就为y，那么用x表示y就可以算出矩形面积，因此x与半圆面积和矩形面积都有关系。要求透过窗户的光线最多，也就是求矩形和半圆的面积之和最大。解：∵7x＋4y＋πx＝15，∴y＝．∵0＜x＜15∴0＜＜15即0＜y＜1.48设窗户的面积是S(m2)，则S＝πx2＋2xy＝πx2＋2x·＝-x2＋x＝-+∴当x＝≈1.07时，S最大＝≈4.02．因此，当x约为1.07m时，窗户通过的

7、光线最多。此时，窗户的面积约为4.02m2.(三)、归纳总结“二次函数应用”的思路：1.找；分析问题中的变量和常量，找出它们之间的关系；2.列；用数学的方式表示出它们之间的关系；3.解；运用数学知识求解；4.检；检验结果的合理性，给出问题的正确解答。（四）、巩固练习习题2.8 第1题1.一根铝合金型材长为6m，用它制作一个“日”字型的窗框，如果恰好用完整条铝合金型材，那么窗架的长、宽各为多少米时，窗架的面积最大？(五)、谈谈本节课你的收获。(六)、布置作业：习题2．8第2题、第3题六、板书设计二次函数的应

8、用（面积的最值问题）“二次函数应用”的思路：1.找；分析问题中的变量和常量，找出它们之间的关系；2.列；用数学的方式表示出它们之间的关系；3.解；运用数学知识求解；4.检；检验结果的合理性，给出问题的正确解答。七、教学反思在课堂教学过程中，注重以学生的自主探究为主，从提出问题到解决问题，说明数学知识来源于我们生活，又服务于我们生活，体现了理论联系实际的教学原则。通过本节学习，学生不但从实际问题中理解数学知识，体会数学的乐趣，而