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1、一工科数学确定二元函数极限不存在的方法及实例排七巧秦翠峨砚公弓切其‘只户篡太原工业大学粉排林粉排粉称,通常情况下判断二元函数极限不存在的方法有,,一只要找到一种方式使不存在二有两种方式使鱿月叫卜,。都存在但二者不相等,。,一般地讲寻找极限不存在的方式就是选取适合的路径要想准确地选取适用路径必,二,,。须归纳函数所属的类型根据夕的结构特点选用适合的路径,几种常见的函数所选取的路径叙述如下。,二不恒为常数的零次齐次函数选用直线路径二,夕,,夕二,夕,二,夕爷设是不恒为常数的零次齐次函数即且。,,,常数当动点尸戈沿定义域内的直线二趋向点。时有
2、,,一,秃。之祷,代卜叫卜,一确一益‘勺户,。表明所取极限值因而异所以极限不存在二,例零次齐次函数犷的定义域是去掉负轴含原点的二平戈二“夕’亿,二,,,面当,沿直线子趋向时便有劣戈。戈劣“夕琴。戈劣“斗了斗了了夕吕州卜刀二。,一不带此结果因而异所以类三不存在名。义十犷劣‘十‘,“二不恒为常数的广义零次齐次函数选用曲线路径,,’,,设函数戈是不恒为常数的广义零次齐次函数即护二二,,二’,刀如果令时立便有二,,二三,二一,,当二沿着曲线路径坛。趋于点时则秦翠娥确定二元函数极限不存在的方法及实例,夕,,,。其结果是的函数表明极限不存在例如。不
3、存在夕一,夕二,二,二。,对于形如攀牛的函数选用定义域的边界函数加上尝试即取一又少“,,。二二帆坛其中并适当选择二,二,二之、二一戈’,例考查函数厂其定义域的边界曲线为取曲线路径一戈潇十。,,。少一二并适当选择劣“一劣“。二、一劣,‘,里则有,公,卜“一戈““扣另。坛。一,,。一二,取时则有一‘戈。,,,夕,‘一‘’罗御罗劣一告,,,。一申。可见二“不存在举飞二,,二,,如果为分式函数可考虑中的分子分母是否为同阶无穷小反过,。来倒推夕与二的函数关系从而定出所取的适用路径戈一了。例证明不存在二口,戈十夕一卜由于匕至夕三二戈二,夕了,可取二
4、戈当沿该曲线趋子十石门,,时则有一了汤不丁今劣了二,二,二。,,。,当取这条直线即沿轴当沿轴趋向的时因三故匕兰上生卫刊,,,。动点沿两条不同路径趋向原点时虽然极限都存在但二者不相等所以极限不存在戈二,、。,函数了,是,次齐次函数当引入极坐标,·一二口《二】时,因,乡孟,口,为口所以可选用适当的路径一工科数学。去尝试戈,么丫。】刁、存在。戈乙乙,十斌一一从,化为极坐标形式夕‘口少互干丽序现在取两种路径。夕。二,二夕。,沿路径‘当,时蕊渝刊,二,二一,沿路径这是心形线当,,时,,,口,’不存在,从而二,也不存在。由此二式便知‘今。,二二,二
5、十齐次有理分式函数通常是取过原点的射线《作。为适用路径、,,二,、二,二分别是关于设久次齐次有理分式函数其中武二,、、,,、,二一。。二的实系数。次齐次多项式都是正整数且几,,当动点沿射线趋向点时便有,,反,一‘,口卜口卜分以下三种情形。,。一,一当时又式即为。,乡,,。,二,此极限值与射线二‘‘的方向角召有关表明极限不存在从而当,,。不恒为常数时使不存在吕一卜考查三芝例井,。一令夕‘嗯卜一戈一,一二,二的系数行列式铸。表明是不恒为常数的零函数享卜兽户入戈尤一十。,,,,次齐次有理分式函数如果沿着射线二二二趋向。时则有“一“夕一“泞了夕
6、一一一下牛厂一一二一二厂万夕。犷一,,‘仃“以叫卜十少争秦翠娥确定二元函数极限不存在的方法及实例一,丫七去其结果是的函数故二一一一百一户侧尘七。,一“‘卜劣。。一。,,二当时几式即为·,,夕用,一,,由于是项式在上方程悠糯豁瓮痴”梦川,。,,,。,抓口至多有个根然而在函数的定义域内至少存在。口。,。笋。,。,。,。铸,使又因为位于定义域内所以在内当动,二口。,,点沿射线趋向原点时是非零常数那么几,夕吐“沙。,皿叩丝匕”一’。,。口二。所以原式极限不存在一戈二口二一,,一二口二三当时只我们引入、二,将转化为极坐标形式,,“一“,二,,,,
7、二设是方程的根而不是的根显然半直线。夕,。是定义域的边界线。,,“,。在定义域内任取口当沿着半直线趋向极点,时便有,,人。夕,夕‘,若取曲线路径〔〕了由确定的曲线路,〕了,之》时是,,几径〔夕当多值的这里我们只取它的一个实单值分支二一”。,〕几,守,当动点沿路径〔趋于极点时由于则,。,。不趋于所以原式极限不存在二例证明一不存在卜,。工七义十认夕少一,,,,,。、口口“,犷万‘““夕“术用欲坐怀砰毛石动丈万石匆干万丁动辰丽又瓦丽下荻两,、土。便有取曲线路径夕圆曲线因粤乙一‘工科数学一兴里旦二竺二口弋口口一一飞一口。今一、一一。,‘。,二。
8、取半直线俘婴当动点沿半直线。趋向极点任乙,时有,·,,,。。。,一户咭卜口日口‘,,,,。由此二式便知’不存在从而不存在,口〔二参考文献〔〕叶介英关于多元函数极限定义的讨论数学通报年第三期〔〕吴桩二元函数极
