求二元函数极限的几种方法

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1、学士学位论文BACHELOR’STHESIS编号学士学位论文求二元函数极限的几种方法学生姓名：祖拉来·热合曼学号：20080103049系部：数学系专业：数学与应用数学年级：08-3班指导教师：故丽巴哈尔·穆罕默德艾力完成日期：2013年4月23日1学士学位论文BACHELOR’STHESIS摘要人们对求一元函数极限的研究比较多，找到一些十分有效的方法，但对二元函数极限则重视不够。本文以二元函数为例，介绍几种求极限的方法。函数极限是高等数学中非常重要的内容。二元函数极限是在一元函数极限的基础上发展起来的，二者之间既有联系又有

2、区别。比如，极限的四则运算法则相同的，但是随着变量个数的增加，二元函数的极限比一元函数极限变得要复杂得多。但现教材、参考书关于二元函数极限求法不够详细，不便于初学者的学习与掌握，就此问题进行讨论。这篇论文主要对二元函数极限的求法与技巧进行了探讨。并通过具体实例子给出了求二元函数极限的几种方法和二重极限不存在的判断方法本文对函数极限的几种方法进行了归纳。本文在计算一元函数极限方法的基础上,包括夹逼准则、极坐标、对数法、两个重要极限、洛必达法则讨论了二元函数极限进行对比归类，提出了一些求二元函数极限的技巧。关键词：二元函数；累次

3、极限；连续性；夹逼准则；恒等变形；有界量；变量替换；极坐标；重极限1学士学位论文BACHELOR’STHESIS目　录摘要1引言11.二元函数极限概念分析22．二元函数极限的求法22.1利用二元函数的连续性22.2利用恒等变形法32.3利用等价无穷小代换42.4利用两个重要极限52.5利用无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量的结论62.6利用变量替换法62.7利用夹逼准则72.8先估计后证明法82.9利用极坐标法102.10利用累次极限法112.11利用取对数法132.12运用洛必达法则求二元函数的极限142.13利用定义求二

4、元函数极限14总结16参考文献17致谢181学士学位论文BACHELOR’STHESIS17学士学位论文BACHELOR’STHESIS引言函数极限是数学分析中非常重要且教育教学中难理解的内容之一，尤其是二元函数的极限。二元函数极限的求解问题，对刚接触二元函数的同学们来说，是一个难点。下面通过一些具体例题对二元函数极限的求法与技巧做一些讲解。二元函数的极限虽然从定义、柯西准则到基本性质与一元函数极限理论基本上是平行的，但由于空间结构的变化,又显示出二元函数与一元函数极限的本质差异。这些差异,首先表现在重极限、累次极限关系上。

5、虽然关于判断和计算二元函数极限上做了些研究且推出了很多方法，但这些方法中有一部分由于缺乏对二元函数极限的理解不深，混乱了重极限与累次极限和忽略它们的存在性出现了一些错误。这种情况对计算和学习二元函数带来有些困难。所以我为了学习和教学带来方便，本文简单的总结了计算二元函数极限的方法。17学士学位论文BACHELOR’STHESIS1.二元函数极限概念分析定义1设函数在上有定义，是的聚点，是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数，总存在某正数,使得时，都有,则称在上当时，以为极限，记.上述极限又称为二重极限.2．二元函数极限的求

6、法2.1利用二元函数的连续性命题若函数在点处连续，则.例1求在点的极限.解：因为在点处连续，所以例2求极限．解：因函数在点的邻域内连续，故可直接代入求极限，即=．17学士学位论文BACHELOR’STHESIS2.2利用恒等变形法将二元函数进行恒等变形，例如分母或分子有理化等.例3求解：例4．解：原式．17学士学位论文BACHELOR’STHESIS2.3利用等价无穷小代换一元函数中的等价无穷小概念可以推广到二元函数.在二元函数中常见的等价无穷小，有；；；；；；；；同一元函数一样，等价无穷小代换只能在乘法和除法中应用.例5求

7、解：当，时，有.，所以这个例子也可以用恒等变形法计算，如：17学士学位论文BACHELOR’STHESIS2.4利用两个重要极限，它们分别是一元函数中两个重要极限的推广.例6求极限.解：先把已知极限化为，而当时，所以故原式=例7求极限.解：因为，当时，，所以，再利用极限四则运算可得：·1=.这个例子也可以用等价无穷小代换计算，如：当，时，，.17学士学位论文BACHELOR’STHESIS所以，2.5利用无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量的结论例8求解:因为是无穷小量，是有界量，故可知，例9求解原式=因为是有界量，又是无穷小

8、量，所以，.虽然这个方法计算实际问题上不那么多用，但计算对无穷小量与有界量的乘积形式的极限的最简单方法之一.2.6利用变量替换法17学士学位论文BACHELOR’STHESIS通过变量替换可以将某些二元函数的极限转化为一元函数的极限来计算，从而使二元函数的极限变得简单.但利用时一定要满足下