资源描述：
《二元函数求极限的方法与技巧》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、陕西理工学院毕业论文二元函数求极限的方法与技巧（陕西理工学院数计学院数学与应用数学专业201级1101班，陕西汉中）指导教师：[摘要]随着变量个数的增加,二元函数的极限比一元函数极限变得要复杂得多,但现教材参考书中关于二元函数极限求法介绍的不够详细,不便于初学者的学习与掌握.本文就此问题进行讨论,通过具体例子给出了求解二元函数极限的几种方法.[关键词]二元函数;极限;领域;方法与技巧.著名的《庄子》一书中有言:“一尺之棰,日取其半,而万世不竭”.极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终,可以说数学分析中的几乎所有的
2、概念都离不开极限.在几乎所有的高等数学著作中都是先介绍极限的思想方法,然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念.不论是一元函数，二元函数还是多元函数，研究的方法和工具都是极限.关于一元函数的极限求法各种高等数学教材中都有详细的例题和说明,二元函数极限是在一元函数极限的基础上发展起来的,二者之间既有联系又有区别,比如：极限的四则运算法则是相同的,而且求极限是数学分析中一种最基本，最主要的运算.掌握好极限的数学,不仅可以提高学生分析问题,解决问
3、题的能力,对后续课程也将产生深刻影响,并且可以增强学生的学习兴趣.二元函数的极限要比一元函数的极限复杂得多,但现教材参考书中关于二元函数极限求法介绍的不够详细,不便于初学者的学习与掌握.因而在学习这部分内容时同学们都感到很困难.我在深人学习和研究的过程中,总结出了几个常用的方法,这些方法在求极限时都是行之有效的,因此我愿整理成文,以其对同学们学习这部分内容有所帮助.1二元函数极限的概念定义[1]设函数在内有定义,是内的一个聚点,是一个确定的实数.若对任给正数,总存在某正数,使得当时即满足不等式时的一切点,都有第1
4、3页，共13页陕西理工学院毕业论文成立,则称为,当时的极限,记作（1）在对于不致产生误解时,也可简单地写作（2）当,分别用坐标表示时,⑵式也常写作（3）那么常数称为函数,当趋于时的极限.为区别二元函数极限与一元函数极限,称二元函数极限为二重极限.注该定义是指以任何方式接近于时,函数都无限接近于.因此（1）如果以某一种特殊方法（如沿某一条直线）趋于时,函数无限趋于某一确定值,由此还不能确定该函数的极限是存在的.（2）如果当以不同方式趋于时,函数趋于不同的值,则可判定此函数的极限是存在的.2二重极限的运算法则正像一元
5、函数的极限一样,二重极限也有类似的运算法则,教材中并没有给出二元函数极限的求法,下面也将结合教学过程给出二重极限的求法.法则[1]若极限与都存在,则函数,当时极限也存在,则（1）（2）若,则,当时极限存在,则有（3）3二元函数求极限的方法和技巧第13页，共13页陕西理工学院毕业论文二元函数极限是在一元函数极限的基础上推广得来的,两者之间既有区别又有联系.在极限的运算法则上它们是一致的,但随着变量的增加,二元函数极限的求解比一元函数复杂得多.现总结出一些常用的二元函数极限求解的方法,对后面含有更多变量的多元函数极限
6、的求解打下基础.3.1直接证明方法思路直接证明法是根据函数的特征,用定义直接证明验证.例1求解当时任意地给定一个正数,取,则当并且时有即所以3.2先估值再证明法思路此方法的运用通常是先观察,推断出函数的极限,然后用定义证明.例2求函数在原点处的极限解分两步考虑(1)先令,考虑,当,时的极限,则有第13页，共13页陕西理工学院毕业论文(2)再用定义证明为的极限于是,取时当且时有即所以3.3利用重要极限公式求解思路有时我们可以利用一元函数的重要极限和第13页，共13页陕西理工学院毕业论文直接求解二元函数的极限.例3求
7、解由于因此当时，所以再利用极限四则运算可得====例4求解由于令则故第13页，共13页陕西理工学院毕业论文例5求解令，则时从而3.4利用无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量的结论思路一元函数关于无穷小量的某些结论对于二元函数同样适用,例如无穷小量的倒数是无穷大量,等价无穷小替换,无穷小量与有界变量的乘积仍然是无穷小量.例6求解由于=而有界又因为是无穷小量第13页，共13页陕西理工学院毕业论文所以例7求解当时,有所以3.5利用两边加逼定理思路迫敛性是求一元函数极限的有力方法,对于二元函数极限也有类似的性质.设函数在
8、的邻域有定义即设和在区域上有定义,是的内点或界点,且若,则有使用迫敛性求二元函数的极限,关键是经过适当放缩,构造出同时满足上述两个条件的.例8求第13页，共13页陕西理工学院毕业论文解因为=而故例9求解由可得而所以3.6利用二元函数的连续性思路由二元函数连续定义可知,若函数在原点处连续,则在处有极限,而极限值就等于在该点的函数值.既例10求函数在点的极限解因为在点处连续所
