不同形状孔的弗朗禾费衍射

《不同形状孔的弗朗禾费衍射》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、不同形状的孔所产生的夫琅禾费衍射图像和光强分布摘要：当讲光源视为远场的时候，可以将菲涅耳衍射变化为夫琅禾费衍射。很容易能够考察出圆形孔和矩形孔的夫琅禾费衍射的强度分布。对于其他形状的衍射图案和光强分布又是怎么样？在这里，我们将从菲涅耳-基尔霍夫公式出发，经过推到得出等腰三角形，等边三角形，正方形，正六边形孔的夫琅禾费衍射公式。并且用matlab和mathematical绘制出衍射强度分布的图像。由此，我们可以推广出任意正N边形的夫琅禾费衍射公式。同时，我们假设任意不规则形状的夫琅禾费衍射的计算思路。关键字：夫琅禾费衍射，等腰三角形，正N

2、变形1.引言我们很容易从菲涅尔-基尔霍夫积分公式推导出夫琅禾费单缝衍射和矩孔衍射的强度公式和分布特点。但是，我们对于其他形状的孔的夫琅禾费衍射又是什么样子的呢。这些都可以从实验上观察，但是从理论上也是可以推导出来的。在这种疑问之下，我们可以先来讨论一些简单形状的孔，比如等腰三角形，等边三角形，正方形孔的夫琅禾费衍射。有一些文献资料上虽然也给出了正多边形孔的夫琅禾费衍射图样，但都是通过对衍射孔进行傅里叶变换得到的，只是站在软件的角度考虑的，缺乏严格的数学推导。2.等腰三角形首先从菲涅耳-基尔霍夫衍射积分公式1−ⅈ?????̃(?)=∬(c

3、os?0+cos?)?̃0(?)ⅆ?（1）2??(?0)在光孔和接受范围满足傍轴条件的情况下，?≈?0≈0，?≈?0（场点到光孔中心的距离），上式可简化为−ⅈ?̃(?)=∬?̃0(?)????ⅆ?（2）??0(?0)现在假设一个坐标系，如图（1）把坐标系带入到方程（2），则可以得到图（1）?????22∞2??(?,?)=??2?(?+?)×∬?(?,?)?−???(??0+??0)ⅆ?ⅆ?(3)0000ⅈ??−∞2?其中?(?0,?0)为衍射屏后的复振幅，?为光波的波长，?=，ⅈ为虚数单位。?观察屏后面的光强可表示为?(?0,?0)=

4、?∗(?,?)?(?,?)（4）我们从上面的理论模型出发，先讨论一下等腰三角形控的夫琅禾费衍射设衍射屏为如图（2）所示的等腰三角型孔。顶角?为?，底边边长为?，为简化起见，设振幅为1的平面光波垂直入射，令??=???2??=????=??图（2）根据夫琅禾费衍射公式（2）可得??????(?2+?2)−?2?(???(?,?)=?2̅̅̅?̅∬?0+??0)ⅆ?0ⅆ?0ⅈ?????????2???0?(?2+?2)−?2???−?2???=?2?∫?0(∫?0ⅆ?0)ⅆ?0ⅈ??0−??02???(−?+??)???(?+??)ⅈ??(

5、?2+?2)−1+????−1+?−???+???3=?2??(+)（5）4?2?−?+???+?????(−?+??)???(?+??)−ⅈ−1+????−1+????=?????3(+)（6）4?2?−?+???+??借助相关公式−1=−??×??sin(?)=sinc(?)???−1+???=???(???−?−??)=???⋅???(??−?−?)可以化简到??????22??(?+??)?(?+??)?(?+?)−?=?2?(?2???sinc()4???2???−???(?−??)?(?−??)−?2???sinc())（7

6、）2???其中?(?+??)sin()?(?+??)2???sinc()=2????(?+??)2????(?−??)sin()?(?−??)2???sinc()=2????(?−??)2???再提出与?，?无关的部分设为?，??2?2???(?+??)−=(????−1)−4?2(?+??)???2?2???(?−??)−−(????−1)（8）−4?2(?−??)?33.等边三角形有了上面的公式，我们可以计算一些正多边形孔的夫琅禾费衍射场。对于一个正三角形，我们可以让认为是由三个顶角为1200的等腰三角型，这样就可以将三个等腰三角形

7、孔的衍射图（3）场叠加成一个衍射场（如图（3）。并且这三个等腰三角形全等，所以产生的衍射场的表达式类似。然后计算出衍射强度分布。由于上面计算所选取的坐标系中，等腰三角形的顶角在原点。计算组成正三角形的三个等腰三角形时，假定一个等腰三角形与上面的推导一致，但是另外两个等腰三角形做了旋转。因此另外两个等腰三角形产生的衍射场需要做坐标变换。从线性代数可以得到旋转1200的坐标变换矩阵2?2?1√3cos?ⅈ?−3322?=[2?2?]=−?ⅈ????√31−33[22]三个衍射场的矢量场在一个点的叠加可表示为3?(?,?)=∑??(?,?)?

8、=1由此，我们可以得到?=?(?,?)⋅?(?,?)∗4?21?1?=(sin2((?−?))+sin2((?+?))3?2(?−?)22(?+?)222??−cos(??)sin((?−?))sin((?