2016新课标I理21——主元法破解极值点偏移问题

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1、教学参谋新颖试题2016年12月主元法破解极值点偏移问题⊙安徽省太和县太和中学岳峻2_xx2_xx2016年全国卷Ⅰ的第21题是一道导数应用问题，呈令g（x）=_xe_（x_2）e，则g（′x）=（x_1）（e_e），现的形式非常简洁，考查了函数的双零点的问题，也是所以当x＞1时，g（′x）＜0，而g（1）=0，典型的极值点偏移的问题，是考生实力与潜力的综合演故当x＞1时，g（x）＜g（1）=0.从而g（x2）=f（2_x2）＜0，故练场.虽然大多学生理解其题意，但对于极值点偏移的x1+x2＜2.本质理解的深度欠佳，面对此类问题大多感到“似懂非二、对解析的分析懂”或“云里雾里”.所

2、谓主元法就是在一个多元数学问题中以其中一本问待证是两个变量的不等式，官方解析的变形是个为“主元”，将问题化归为该主元的函数、方程或不等x1＜2_x2，借助于函数的特性及其单调性，构造以x2为主元式等问题，其本质是函数与方程思想的应用.作为一线的函数.由于两个变量的地位相同，当然也可调整主元的教育教学工作者，笔者尝试用主元法破解函数的极值变形为x2＜2_x1，同理构造以x1为主元的函数来处理.此法点偏移问题，理性的对此类进行剖析、探究，旨在为今后与官方解析正是极值点偏移问题的处理的通法.的高考命题和高考复习教学提供一点参考.不妨设x1＜x2，由（1）知，x1∈（_∞，1），x2∈（1

3、，+∞），2_一、试题再现及解析x1∈（1，+∞），（fx）在（1，+∞）上单调递增，所以x1+x2＜2等价于0=f（x2）＜f（2_x1），即（fx1）_f（2_x1）＜0.（一）题目2_xx令u（x）=f（x）_f（2_x）=xe_（2_x）e（x＜1），则x2（2016年全国卷Ⅰ）已知函数（fx）=（x_2）e+a（x_1）x2_xu（′x）=（x_1）（e_e）＞0，有两个零点.所以u（x）＜u（1）=0，即（fx）＜f（2_x）（x＜1），（1）求a的取值范围；所以（fx1）=f（x2）＜f（2_x1）.（2）设x1，x2是（fx）的两个零点，证明：x1+x2＜2.所以x

4、2＜2_x1，即x1+x2＜2.本题第（1）小题含有参数的函数（fx）有两个零点，自然想到研究其单调性，结合零点存在性定理求得a的取三、例谈主元法破解极值点偏移问题值范围是（0，+∞）.第（2）小题是典型的极值点偏移的问［1］题，如何证明呢？对文献的四道例题，笔者都能运用主元法顺利破（二）官方解析解，验证主元法破解极值点偏移问题的可行性.（2）不妨设x1＜x2，由（1）知，x1∈（_∞，1），x2∈（1，例1（2014年江苏省南通市二模第20题）设函数x+∞），2_x2∈（_∞，1），（fx）在（_∞，1）上单调递减，（fx）=e_ax+a，其图像与x轴交于A（x1，0），B（x2

5、，0）两点，所以x1+x2＜2等价于（fx1）＞f（2_x2），即（f2_x2）＜0.且x1＜x2.由于（f2_x）=_xe2_x2+a（x_1）2，而（fx）=（x_2）ex2+（1）求a的取值范围；22222a（x_1）2=0，2（2）证明：f（′姨xx）＜0（f（′x）为函数（fx）的导函数）.12所以（f2_x）=_xe2_x2_（x_2）ex2.2222解：（1）a∈（e，+∞），且0＜x1＜lna＜x2，（fx）在（0，lna）上54高中版万方数据教学2016年12月新颖试题参谋单调递减，在（lna，+∞）上单调递增.1不妨设A（x1，0），B（x2，0），0＜x1＜x

6、2，则0＜x1＜＜x2，x1+x2a（2）要证明f（′姨x1x2）＜0，只需证f′姨姨＜0，即21欲证明f′（x0）＜0，即f′（x0）＜f′姨姨，只需证明x0=x1+x2af′姨姨＜f（′lna），2x1+x212＞，即x1＞_x2，x因为f（′x）=e_a单调递增，2aax1+x22所以只需证＜lna，亦即x2＞2lna_x1，只需证明（fx2）=f（x1）＞f姨_x2姨.2a只需证明（fx2）=f（x1）＞f（2lna_x1）即可.21111由（2）得f姨_x2姨=f∈+姨_x2姨∈＞f∈_姨_x2姨∈=令g（x）=f（x）_f（2lna_x）（x＜lna），则aaaaa2x

7、a（fx2），得证.g（′x）=f（′x）_f（′2lna_x）=e__2a＜0，xe例4（2013年湖南文科第21题）已知函数f（x）=所以g（x）在（0，lna）上单调递减，g（x）＞g（lna）=0，得1_xx证.2e.1+x_x例2（2010年天津理科21题）已知函数f（x）=xe（1）求（fx）的单调区间；（x∈R）.（2）证明：当（fx1）=f（x2）（x1≠x2）时，x1+x2＜0.（1）求函数（fx）的单调区间和极值；（2）（略）；解：（1）（fx）在