高中数学解析几何专题及典型例题

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1、解析几何专题高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题,1个填空题,1个解答题),共计30分左右,考查的知识点约为20个左右.其命题一般紧扣课本,突出重点,全面考查.选择题和填空题考查直线,圆,圆锥曲线,参数方程和极坐标系中的基础知识.解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点,通过知识的重组与链接,使知识形成网络,着重考查直线与圆锥曲线的位置关系,求解有时还要用到平几的基本知识,这点值得考生在复课时强化.例1已知点T是半圆O的直径AB上一点，AB=2、OT=t(0

2、交半圆于P、Q两点，建立如图所示的直角坐标系.(1)写出直线AB的方程；（2）计算出点P、Q的坐标；（3）证明：由点P发出的光线，经AB反射后，反射光线通过点Q.''讲解:通过读图,看出A,B点的坐标.'‘(1)显然A1,1t,B1，1t，于是直线AB的方程为ytx1；22xy1,（2）由方程组ytx1,22t1t解出P(0,1)、Q(,)；221t1t101（3）kPT,0tt21t021t21t1kQT.2tt(1t2)tt21t由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知

3、，由点P发出的光线经点T反射，反射光线通过点Q.需要注意的是,Q点的坐标本质上是三角中的万能公式,有趣吗?22xy例2已知直线l与椭圆1(ab0)有且仅有一个交点Q，且与x轴、y轴分别交于R、S，求以22ab线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程．讲解：从直线l所处的位置,设出直线l的方程,由已知，直线l不过椭圆的四个顶点，所以设直线l的方程为ykxm(k0).222222代入椭圆方程bxayab，得22222222bxa(kx2kmxm)ab.化简后，得关于x的一元二次方程222222222(akb)x2kamx

4、amab0.当前第1页共7页于是其判别式222222222222222(2kam)4(akb)(amab)4ab(akbm).2222由已知，得△=0．即akbm.①m在直线方程ykxm中，分别令y=0，x=0，求得R(,0),S(0,m).kmyx,k,令顶点P的坐标为（x，y），由已知，得kx解得ym.my.22代入①式并整理，得ab1,即为所求顶点P的轨迹方程．22xy22方程ab1形似椭圆的标准方程,你能画出它的图形吗?22xy22xy233例3已知双曲线1的离心率e

5、，过A(a,0),B(0,b)的直线到原点的距离是.22ab32（1）求双曲线的方程；（2）已知直线ykx5(k0)交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.abab3c23xyd.讲解：∵（1）,原点到直线AB：1的距离a2b2c2.a3abb1,a3.2故所求双曲线方程为xy21.3（2）把52323k2x2kx.ykx代入xy中消去y，整理得(13)30780设C(x1,y1),D(x2,y2),CD的中点是E(x0,y0)，则xx15k512xykx5,020022

6、13k13ky110k.BExk0xkyk0,0015k5k2即k0,又k0,k72213k13k故所求k=±7.为了求出k的值,需要通过消元,想法设法建构k的方程.例4已知椭圆C的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且∠F1PF2的最大值为90°，直线l过左焦点F1与椭圆交于A、B两点，△ABF2的面积最大值为12．（1）求椭圆C的离心率；（2）求椭圆C的方程．当前第2页共7页讲解：（1）设

7、PF

8、rPF,

9、

10、r,

11、FF

12、2c对PFF,由余弦定理,得11221212122222222r1

13、r24c(r1r2)2r1r24c4a4c4a4ccosFPF11122r1r22r1r22r1r22(r1r2)22212e0，解出2e.2（2）考虑直线l的斜率的存在性，可分两种情况：i)当k存在时，设l的方程为yk(xc)………………①22xy椭圆方程为1,A(x,y),B(x,y)221122ab由2a22c2,b2c2.e.得2222于是椭圆方程可转化为x2y2c0………………②将①代入②，消去y得222()2220xkxcc,整理为x的一元二次方程，得(122)24222(21)0

14、kxckxck.则x1、x2是上述方程的两根