非线性脉冲状态依赖捕食被捕食模型的定性分析_王刚

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1、应用数学和力学，第34卷第5期AppliedMathematicsandMechanics2013年5月15日出版Vol．34，No．5，May．15，2013文章编号:1000-0887(2013)05-0496-10应用数学和力学编委会，ISSN1000-0887非线性脉冲状态依赖捕食*被捕食模型的定性分析王刚，唐三一(陕西师范大学数学与信息科学学院，西安710062)(我刊编委唐三一来稿)摘要:由于资源的有限性以及害虫群体对杀虫剂的抗性发展等因素，使得杀虫剂对害虫的杀死率具有饱和效应．因此，当

2、害虫的数量达到经济阈值时，杀虫剂对害虫的杀死率与经济阈值有关．为了刻画上述饱和效应，建立了一类非线性脉冲状态依赖捕食被捕食模型．利用LambertW函数和脉冲半动力系统的相关技巧，分析了模型阶1正周期解的存在性和稳定性，得到了相应的充分条件．进而讨论了非线性脉冲与线性脉冲对阶1周期解存在性的影响．关键词:非线性脉冲;捕食被捕食系统;阶1周期解;存在性;稳定性中图分类号:O241．8;O242文献标志码:ADOI:10．3879/j．issn．1000-0887．2013．05．008引言历史上，Vol

3、terra(1931)通过建立经典的捕食被捕食模型，成功地解释了海港鱼类繁殖增［1-5］长的生物现象，后来称之为Volterra原理．该原理在害虫综合治理中也具有非常重要的指导意义．如果将害虫的数量以x(t)表示，天敌的总数以y(t)表示，Volterra提出了如下的害虫-天敌生态模型:dx(t)=x(t)(a－by(t))，dt(1){dy(t))，=y(t)(cx(t)－ddt其中，a，b，c和d都是正数．基于模型(1)的基本假设是:?在没有天敌的情况下，害虫以指数的方式无限增长，其［1］增长率表

4、现在模型(1)中的ax(t)项上;?天敌的存在使得害虫的单位增长率减少，且减少量正比于天敌以及害虫的数量，即－bx(t)y(t)项;?在没有害虫作为食物来源的情况下，天敌将以指数形式减少，即模型(1)中的－dy(t)项;?害虫的存在使得天敌的增长率增加了cx(t)y(t)，即其增加量既与害虫的数量成正比也与天敌的数量成正比．*收稿日期:2013-04-03基金项目:国家自然科学基金资助项目(11171199)作者简介:王刚(1985—)，男，湖北人，硕士(E-mail:wanggang19851213

5、@126．com);唐三一(1970—)，男，教授，博士(通讯作者．E-mail:sytang@snnu．edn．cn)．496王刚唐三一497综合害虫治理的目标不是根除害虫，而是控制害虫数量使其不超过经济阈值(VET)，即当［2，5］害虫的数量达到VET时，必须采取综合治理策略控制害虫的数量，例如投放天敌，喷洒杀虫剂等．如果假设每次喷洒杀虫剂后瞬间杀死率与当时害虫数量成正比，比例常数为p∈［0，［2］1)，且同时投放常数量的天敌τ，则得到如下线性脉冲状态依赖脉冲微分方程模型:ìdx(t)=x(t)(

6、a－by(t))，ïdtïx≠VET，dy(t))，}ïï=y(t)(cx(t)－dídt(2)+ïx(t)=(1－p)x(t)，ï+}x=VET，y(t)=y(t)+τ，ïïî++++x(0)=x0＜VET，y(0)=y0．为了后面讨论的方便，这里先列出文献［2］中得到的关于模型(2)阶1周期解存在与稳定的相关结论．为此记A0=cpVET－dln(1/(1－p))，且当p=0时有A0=0．主要结论有:?如++果τ=0，0＜p＜1且A0=0，则对任意0＜y0≤a/b，模型(2)存在初值为((1－p)V

7、ET，y0)的阶1正周期解，且该阶1正周期解是稳定的，但不是吸引的;?如果τ=0，0＜p＜1且A0＜0，则模型(2)不存在阶1正周期解;?如果τ≥a/b且p=0，则模型(2)存在唯一的全局稳定的阶1正周期解;?如果τ＞0，0＜p＜1且A0≤0，则模型(2)存在唯一的全局稳定的阶1正周期解．但是当0＜τ＜a/b且p=0时，脉冲系统(2)会出现鞭打现象，故这里不予［2］考虑．模型(2)中假设每次喷洒农药后，害虫的杀死率是一个常数p．然而由于资源的有限性以及害虫对杀虫剂的抗性发展等因素，杀虫剂对害虫的杀死率

8、具有一定的饱和效应．为了刻画杀虫剂对害虫的这种饱和效应，常数杀死率可以看成是一个依赖害虫数量的饱和函数，即Pmaxx(t)p(x(t))=，x(t)+θ其中，Pmax∈［0，1)为最大杀死率，且θ＞0为半饱和常数，即杀死率为最大杀死率的一半时所对应的害虫的数量．这时可以建立如下非线性脉冲状态依赖脉冲模型ìdx(t)=x(t)(a－by(t))，ïdtïx≠VET，dy(t))，}ïï=y(t)(cx(t)－dídt(3)+ïx(t)=(1－p(x(t))