组合数学作业1-8

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1、1．1）在边长为1的等边三角形内任意放10个点，证明一定存在两个点，其距离不大于1/3。证：如图所示：在三角形的边上加两个点等分每条边，把大三角形分别9个边长为1/3的小三角形。由鸽巣原理：10个点中一定存在两个点落于同一个小三角形，其距离不大于1/3。2）在边长为1的三角形内放个点，则把三角形分割成n-1个小三角形。由鸽巣原理可知：个点必有两点落于同一个小三角形内，则其距离不大于1/n.2．证：……m个数，i=1,2…..m.设0≤≤m-1当=0时，存在一个整数可以被m整除。当从1…..m-1这m-1个中取值，那么m个中只有m-1种可能，则鸽巣原理可知：必存在j和k，使得,j>k,即有

2、3.证：∵有理数可由整数和分数组成。∴当为整数时，存在以0为循环的循环小数。∴当为分数时，若分数是有限的循环小数，则存在以0为循环的循环小数。∴若分数是无限循环的循环小数，则肯定存在某一位后以某一位为循环的循环小数。4．证：设全部由7组成的N+1个数，7，77，777，……,7777。。。。77（N+1个7）存在整数N，由7组成的数除以N，以代表N+1中的数。即=Nq+0≤≤N-1则存在0….N-1这n个数，则鸽巣原理可知：必定存在两个数使得是N的倍数组合数学第2次作业2．5⑴证明在任意选取的n+1个正整数中存在着两个正整数，其差能被n整除。解：设任意n+1正整数，任意取两个整数的差为=

3、,i>j.差除以n的余数为。∴0≤≤n-1如果存在i，使得=0.则可以被n整除，对所有i，i=1,2。。。。n都有≠0则这n个i中只能取1,2.。。。。n-1。这n-1种情况。由鸽巢原理可知，必存在i和j使得，i＞j，则有=可以被n整除。⑵证明在任意选取的n+2个正整数中存在着两个正整数，其差能被2n整除或者其和能被2n整除。解：设任意n+2正整数，任意取两个整数的差为=,i>j.差除以2n的余数为。∴0≤≤2n-1如果存在i，使得=0.则可以被n整除，对所有i，i=1,2。。。。2n都有≠0则这2n个i中只能取1,2.。。。。n-1。这2n-1种情况。由鸽巢原理可知，必存在i和j使得，

4、i＞j，则有=可以被2n整除。2.6某学生有37天的时间准备时间考试，根据她过去的经验至多需要复习60个小时，但每天至少要复习1小时。证明无论怎样安排都存在连续的若干天，使得她在这些天里恰好复习了13小时。设是从第1天到第i天复习的总小时，i=1,2，。。。37.至多复习60个小时。∴1≤。。。。≤60。做序列：这个序列也是严格单调上升的，且有+13≤60+13。考察下面的序列：该序列有84个数，每个数都是小于等于73的正整数，由鸽巢原理可知，必存在i和j使得(i>j）.令n=i-j,该学生在第j+1,j+2,…..j+n=i的连续n天中复习了13个小时。(P34)3.7把q个负号和p个

5、正号排在一条直线上，使得没有两个负号相邻，证明不同的排法有C（p+1，q）种。证：先把p个正号排在一条直线上，那么就有p+1个间隔，那就可以把q个负号插进这p+1个位置，则就知道其不同的排法有C（p+1，q）种。3.8（1）从整数1,2，、、、、、、，100中选出两个数，使得他们的差正好是7，有多少种不同的选法。解：从整数1,2，、、、、、、，100中选出两个数，使得他们的差正好是7的两个数有1和8,2和9,3和10,4和11，、、、、、、、、93和100，，则一共有93种选法。（2）如果选出的两个数之差小于等于7，又有多少种选法？解：如果选一个数为1的话，那另一个数就可以是2,3,4,

6、5,6,7,8有7种如果选一个数为2的话，那另一个数就可以是3,4,5,6,7,8,9有7种、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、如果选一个数是93的话，有94,95,96,97,98,99,100，也是7种选94，那就有95,96,97,98,99,1006种选95，那就有96,97,98,99,1005种选96，那就有97,98,99,1004种选97，那就有98,99,1003种选98，那就有99,1002种选99，那就有1001种那把上面所有的选法加起来得：93×7+6+5+4+3+2+1=672则从整数1,2，、、、、、、，100中选出的两个数之差小于等于7有672种选法。3

7、.20从整数1,2、、、、，1000中选取三个数使得它们的和正好被4整除，问有多少种选法。解：将1,2、、、、1000都除以4，A、余数为0的有4,8,12,16，、、、、、1000，250个B、余数为1的有1，5,9,13，、、、、997，250个C、余数为2的有2,6,10,14，、、、、、998，250个D、余数为3的有3,7,11,15，、、、、、9999，250个然后再从A,B,C,D中选取三个数可被4整除：在A中取三个数