322 函数模型的应用实例 学案3(人教A版必修1)(teacher)

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1、3.2.2　函数模型的应用实例【课标要求】1．了解几种现实生活中普遍使用的函数模型．2．能够利用给定的函数模型或建立函数模型解决实际问题．【核心扫描】1．利用已知函数模型解决实际问题．(重点)2．建立函数模型解决实际问题．(难点)3．选择恰当的函数模型解决实际问题．(易错点)新知导学1．解决函数应用问题的基本步骤利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原．这些步骤用框图表示如图：2．数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述．互动

2、探究探究点1解决函数实际应用问题的关键是什么？提示　关键是选择或建立恰当的函数模型．探究点2数据拟合时，得到的函数为什么要检验？提示　因为根据已给的数据，作出散点图，根据散点图，一般是从我们比较熟悉的、最简单的函数作模型，但所估计的函数有时可能误差较大或不切合客观实际，此时就要改选其他函数模型.类型一　二次函数模型的应用【例1】某公司以每吨10万元的价格销售某种化工品，每年可售出1000吨．若该产品每吨的价格上涨x%，则每年的销售量将减少mx%(m＞0)．(1)当m＝时，求销售额的最大值；(2)如果涨价能使销售额增加，求m的取值范围．[思路探索]　先建立销售额

3、与x的函数关系即函数模型，再利用函数模型解决实际问题．解　当价格上涨x%，即价格为10万元时，销售量为1000吨，销售总额为y＝(1000－10mx)＝－mx2＋100(1－m)x＋10000.(1)当m＝时，y＝－x2＋50x＋10000＝－(x－50)2＋11250(0＜x＜200)．所以x＝50时销售额最大，最大值为11250万元．(2)涨价能使销售额增加，也就是x＞0时，y＞10×1000，即－mx2＋100(1－m)x＞0，∴－mx＋100(1－m)＞0.又m＞0，∴＞x＞0，解得0＜m＜1.所以m的取值范围是(0,1)．[规律方法]　(1)第一小题

4、关键在于建立y关于x的二次函数；(2)第二小题要理解“涨价且使销售额增加”的意义，从而得到关于m的不等式．(3)二次函数模型是幂函数中的最重要的函数模型，根据实际问题建立函数关系式后，可以利用配方法、换元法、单调性等方法求其最值，从而解决实际问题中的最大、最小等问题．【活学活用1】某企业生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，但每生产100台时，又需可变成本(即另增加投入)0.25万元，市场对此商品的年需求量为500台，销售收入(单位：万元)函数为：R(x)＝5x－x2(0≤x≤5)，其中x是产品生产的数量(单位：百台)．(1)把利润表示为产量的函数

5、；(2)年产量为多少时，企业所获得的利润最大？解　(1)由题意，得总成本为0.5＋0.25x，从而利润为f(x)＝5x－x2－(0.5＋0.25x)＝－x2＋4.75x－0.5＝－x2＋x－(0≤x≤5)．(2)f(x)＝－(x－)2＋，当x＝时，f(x)有最大值.∴年产量为475台时，利润最大为万元．类型二　分段函数模型的应用【例2】通过研究学生的学习行为，专家发现，学生注意力随着老师讲课时间的变化而变化．设f(t)表示学生注意力随时间t(分钟)的变化规律，其中f(t)越大，表明学生注意力越集中．经过实验分析得知f(t)＝(1)讲课开始后5分钟与25分钟比较

6、，何时学生的注意力更集中？(2)讲课开始后多少分钟，学生注意力最集中？能持续多少分钟？[思路探索]　由于f(t)是关于t的分段函数，计算时应分清f(t)满足的关系式，分段求解，并加以比较，得出结论．解　(1)f(5)＝－52＋24×5＋100＝195.f(25)＝－7×25＋380＝205.∴讲课开始后25分钟学生的注意力更集中．(2)当0＜t≤10时，f(t)＝－(t－12)2＋244，此时，当t＝10时，f(t)max＝240；当10＜t＜20时，f(t)＝240；当20≤t≤45时，f(t)max＝f(20)＝240.∴讲课开始后10分钟到20分钟，学生

7、注意力最集中，能持续10分钟．[规律方法]　(1)对于分段函数，一定要注意对各个定义区间内的表达式进行分析，特别是区间的端点，以保证在各区间端点“不重不漏”．(2)求解分段函数问题，必须分段处理，注意在有限制条件的前提下，如何进行分类讨论解决问题．【活学活用2】某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x(吨)．(1)求y关于x的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月用水量和水费．解　(1)当甲

8、的用水量不超过4吨时，即5x≤4，乙的