第六章 广义逆矩阵

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1、第六章广义逆广义逆矩阵的概念是方阵逆矩阵概念的推广，广义逆矩阵的基本知识是矩阵理论的重要组成部分，其在数理统计、数值分析、博弈论、控制论、计量经济、电网理论等中有重要的应用。本章首先给出各种广义逆矩阵的概念，重点介绍矩阵-逆及矩阵Moore-Penrose逆的性质、计算方法及这两种广义逆矩阵在线性方程组求解中的应用，最后给出方阵的群逆与Drazin逆的基本性质。§6.1广义逆矩阵的概述广义逆矩阵的概念渊源于线性方程组的求解问题。设为复维向量空间，为复矩阵全体。设矩阵，考虑线性方程组（6-1）其中，为给定的维向量，为待定的维向量。定义1若存在向量满足线性方

2、程组（6-1），则称线性方程组（6-1）是相容的；否则称线性方程组（6-1）是不相容的。众所周知，当为可逆矩阵时，线性方程组（6-1）有唯一解，其中是的逆矩阵。当为不可逆矩阵或长方矩阵时，相容线性方程组（6-1）有无数解；不相容线性方程组（6-1）无解，但它有最小二乘解，即求，使得（6-2）成立，其中代表任意一种向量范数，。上述两种情况的解是否也能表示成一种紧凑的形式，其中，是某个矩阵？这个矩阵是通常逆矩阵的推广。1920年，E.H.Moore首先提出广义逆矩阵的概念，由于Moore的方程过于抽象，并未引起人们的重视。1955年，R.Penrose给出如

3、下比较直观和实用的广义逆矩阵的概念。定义2设矩阵，若存在矩阵满足下列Penrose方程（1）；（2）；（3）；25（4）则称为的Moore-Penrose逆，记为。例1由Moore-Penrose逆的定义不难验证（1）若，则；（2）若，则，其中；（3）若，其中是可逆矩阵，则；（4）若是可逆矩阵，则。定理1对于任意矩阵，其Moore-Penrose逆存在并且唯一。证明存在性。设矩阵有奇异值分解，其中，为酉矩阵，，的正奇异值为，。容易验证满足定义2中的四个Penrose方程，所以，总是存在的。唯一性。设均满足定义2中的四个Penrose方程，则所以是唯一的。

4、更一般的，为了不同的目的，人们定义了满足Penrose方程中任意若干个方程的广义逆。25定义3设矩阵，若矩阵满足Penrose方程中的（），（），，（）等方程，则称为的-逆，记为。由定义3与定义1可知，。因为对于任意都有为的-逆，所以利用定理1可知总是存在的。但是除了是唯一确定的之外，其余各种-逆矩阵都不是唯一确定的，因此将的-逆全体记为。如果按照满足Penrose方程个数进行分类，-逆矩阵共有种。但应用较多的是以下5种：，其中，最为基本，最为重要。称为自反广义逆，称为最小二乘广义逆，为极小范数广义逆。例2设矩阵，其中为可逆矩阵，且，则容易验证。例3设矩

5、阵。（1）若，此时为可逆矩阵，容易验证;（2）若，此时为可逆矩阵，容易验证。除了以上广义逆矩阵之外，还有群逆、Drazin逆等另外一些广义逆矩阵。1967年，Erdelyi给出如下群逆的概念。定义4设矩阵，若矩阵满足（1）；（2）；（3）；则称为的群逆，记为。25从定义4可以看出，群逆是一个特殊的，虽然总是存在的，但是这种群逆未必存在。为了介绍Drazin逆的定义，下面先给出方阵指标的概念。定义5设矩阵，称满足的最小非负整数为的指标，记作。若矩阵是非奇异的，则，若矩阵是奇异的，则。1958年，Drazin给出如下Drazin逆的概念。定义6设矩阵，其指标

6、为，若存在矩阵满足（1）；（2）；（3）；则称为的Drazin逆，记作。易见，若矩阵的指标为，则的Drazin逆就是群逆。§6.2-逆的性质与计算由于-逆是最基本、最重要的一种广义逆，本节将给出-逆的基本性质与计算方法。6.2.1-逆的存在性定理1设矩阵，其秩为。若矩阵的等价标准形为，其中分别为阶和阶可逆矩阵，则矩阵的所有-逆的集合为。证明设矩阵为的任意一个-逆，则其满足。于是，25。因为分别为阶和阶可逆矩阵，上式等价于。令，则由上式可以推出，而是任意的，故，即。因此，此定理结论成立。由此定理的证明过程可知矩阵的-逆一定存在，但由于的任意性得矩阵的-逆不

7、唯一。6.2.2-逆的基本性质关于-逆的基本性质，有如下定理。定理2设矩阵，，则（1）；（2）若矩阵，则，并且的-逆是唯一的；（3），其中；（4）设分别为阶和阶可逆矩阵，则；（5）；（6）与都是幂等矩阵，且。25证明利用6.1节定义3，可以直接验证此定理的（1）-（4）成立。（1）由于，所以结论成立。（2）由于，，所以，与都是幂等矩阵。又由于，所以，同理，因此，结论成立。6.2.3-逆的计算定理1给出利用等价标准形求-逆的方法。例1已知矩阵，求，并具体给出一个。解答由于25，现令，，所以矩阵的等价标准形为，利用定理1可得；令均为零矩阵时，得到一个最简单的

8、-逆如下：。§6.3Moore-Penrose广义逆的性质与计算由于Moore-