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1、第六章广义逆矩阵§6.1投影矩阵一、投影算子与投影矩阵v设L和M都是Cn的子空间，且LÅM=Cn．于是任意xÎCn都可唯一分解为x=y+z，yÎL，zÎM，称y是x沿着M到L的投影．v定义将任意xÎCn变为沿着M到L的投影的变换称为沿着M到L的投影算子，记为PL,M，即PL,Mx=y。v显然，R(PL,M)=L，N(PL,M)=M．v投影算子PL,M是一个线性算子。v定义投影算子PL,M在Cn的基e,…,e下的矩阵称为1n投影矩阵．记为PL,M。v幂等矩阵：A2=Av引理设AÎCn×n是幂等矩阵，则N(
2、A)=R(I-A)。证明：A2=AÞA(I-A)=OÞ对任意xÎR(I-A),存在yÎCn,x=(I-A)y，必有Ax=0。故R(I-A)ÌN(A)ÞdimR(I-A)£dimN(A)=n-dimR(A)即rank(I-A)£n-rankA。考虑到I=A+(I-A)Þn£rankA+rank(I-A)有rank(I-A)=n-rankA，使得dimR(I-A)=n-dimR(A)=dimN(A)，即得N(A)=R(I-A)。v定理：P为投影矩阵的充要条件是P为幂等矩阵证明：设P=P为投影矩阵，则对任意x
3、ÎCn有L,MP2x=P(Px)=Py=y=PxL,ML,ML,ML,ML,M故P为幂等矩阵。反之，设P为幂等矩阵则对任意xÎCn有x=x-Px+Px=(I-P)x+Px，其中(I-P)xÎN(P)，PxÎR(P)，使得Cn=N(P)+R(P)。设zÎN(P)∩R(P)，由于N(P)=R(I-P)故存在u，vÎCn使得z=Pu=P2u=P(I-P)vÞz=Pu=(I-P)v=0故N(P)∩R(P)={0}。这样Cn=N(P)ÅR(P)，这意味着对任意xÎCn，Px是x沿着N(P)到R(P)的投影，故而P
4、=PR(P),N(P)v投影矩阵P的构造方法L,M设dimL=r，则dimM=n-r，在子空间L和M中分别取基底X=(x,…,x)和Y=(y,…,y)，1r1n-r于是有P[X,Y]=[X,O]。由于(X,Y)为Cn的一个基底，故[X,Y]L,M可逆于是得P=[X,O][X,Y]-1L,M例：设L是由向量[1,0]T张成的子空间，M是由向量[1,－1]T张成的子空间，则可求得平面上沿着M到L的投影矩阵为-1é10ùéù11P=êúêú=L,Më00ûëû01-é10ùé11ùéù11êúêú=êúë00
5、ûë0-1ûëû00二、正交投影算子与正交投影矩阵v定义：设L是Cn的子空间，则称沿着L^到L的投影算子PL,L^为正交投影算子，简记为PL；正交投影算子在Cn的基e1,…,en下的矩阵称为正交投影矩阵，记为PL．v定理矩阵P为正交投影矩阵的充要条件是P为幂等Hermite矩阵．证明：若P=P是正交投影矩阵,由前述定理知，它是幂等矩阵。L把任意xÎCn分解为x=y+z，yÎL，zÎL^则Px=yÎL，(I-P)x=zÎL^使得Px正交于(I-P)x，LLLL即xHPH(I-P)x=0LL由x的任意性可得
6、PH(I-P)=OLL即PH=PHPÞPH=PHP=(PHP)H=(PH)H=PLLLLLLLLLL即PH=P，P为幂等Hermite矩阵。反之，设P为幂等Hermite矩阵由幂等性知P=P，N(P)=R(I-P)R(P),N(P)对任意Px与(I-P)y，有=xHPH(I-P)y=xHP(I-P)y=xH(P-P2)y=0即得R(P)^N(P)。因此P为正交投影矩阵。v正交投影矩阵P的构造方法L设dimL=r，则dimL^=n-r。在子空间L和L^中分别取基底X=(x,…,x)和
7、Y=(y,…,y)满足XHY=O，于是1r1n-rr´(n-r)H-1Hé(XX)Xù-1PL=[X,O][X,Y]=[X,O]êH-1Húë(YY)YûH-1H=X(XX)XéAù说明：令-1，则有[X,Y]=êúëBûéAù-1I=[X,Y][X,Y]=[X,Y]êú=XA+YBëBûHHHH两边左乘XH得X=XXA+XYB=(XX)A即A=(XHX)-1XH，同理可得B=(YHY)-1YH例：设L是由向量[1,2,0]T和[0,1,1]T张成的子空间，则可求得正交投影矩阵为éù10êúé52ù-1
8、1éù22-HHX=21,ÞXX==êú(XX)êúêúë22û6ëû-25êúëû01éù222-HH-11êúÞPL==X(XXX)êú2516êúëû-215三、正交投影原理及其应用1.正交投影原理令M是向量空间H的子空间，如果对于H中的向量x，在M中有一向量x，使得x-x正交于M中的所有向量y，即(x-x,y)=0，则
9、
10、x-x
11、
12、£
13、
14、x-y
15、
16、对于所有向量yÎM都成立，并且等号仅当y=x时成立。证：
17、
18、x-y
19、
20、2=
21、
22、x-x+
