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1、《抽象代数》考试模拟试卷（答案）考试形式：闭卷考试时间：120分钟满分：100分。题号一二三四五六七八九十总分得分评阅人注意：1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效。2、密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记。得分一、判断和计算题（共10分）判断下列代数结构是否为群，并计算群中每个元素的阶：1）〈N6,+6〉2）〈N6－{0}，∙6〉答：〈N6,+6〉是群，（7分）元素012345阶163236〈N6－{0}，∙6〉不是群。（3分）学号：姓名：学院：年级：专业：------------------------------------------
2、-------密－封－线---------------------------------------------------第6页（共6页）得分二、证明题（共10分）证明两个群〈G1,+〉与〈G2,*〉的积代数〈G1×G2,⊕〉是群。答：设G1的幺元为e1，G2的幺元为e2。对任意，，是G1×G2的幺元。（3分）运算⊕是可结合的。（4分），每个元素存在逆元。（3分）故〈G1×G2,⊕〉是群。得分三、计算题（共10分）设，求a、b和ab在对称群S6中的阶。答：a的阶是4；（3分）b的阶是6；（3分）的阶是6。（4分）第6页（共6页）得分四、证明题（共10分）设G是群，且H≤K
3、≤G。证明：若HvG，KvG，则K/HvG/H。证明：易证HvK。（2分）对任意aH∈G/H，kH∈K/H，有（3分）因为aka−1∈K，所以，。（3分）故K/HvG/H。（2分）得分五、证明题（共10分）若A和B为环的子环，证明A∩B也是的子环。证明：显然，。（2分）对任意，因，则有；（3分）因，则有；（3分）因，则有；（2分）故A∩B是的子环。学号：姓名：学院：年级：专业：-------------------------------------------------密－封－线--------------------------
4、----------------------------第6页（共6页）得分六、计算题（共10分）x2+x+1是上的2次不可约多项式。求域的阶和域中元素x+1的乘法阶。答：的阶为（4分）（6分）元素x+1的乘法阶为5。得分七、证明题（共10分）证明域Q(i)与域同构。证明：，定义映射。显然f是Q(i)到的双射。（2分）（4分）即（4分）故f是同构映射。第6页（共6页）得分八、应用题（共10分）画出格〈S30，D〉和〈S45，D〉的哈斯图。指出其中的有补格和分配格。答：〈S30，D〉和〈S45，D〉的哈斯图：（4分）〈S30，D〉是有补格和分配格。（4分）〈
5、S45，D〉是分配格。（2分）得分九、证明题（共10分）证明在任何布尔代数中下述结论成立：a=b⟺(a*b′)Å(a′*b)=0证明：1）a=b⟹(a*b′)Å(a′*b)=0(a*b′)Å(a′*b)=(a*a′)Å(a′*a)=0（2分）2)(a*b′)Å(a′*b)=0⟹a=b(a*b′)Å(a′*b)=0⟹a*b′=0且a′*b=0（2分）因（3分）（3分）故a=b。学号：姓名：学院：年级：专业：-------------------------------------------------密－封－线---------------------------------
6、---------------------第6页（共6页）得分十、证明题（共10分）设是分配格，a,bL。设X={x
7、x∈L且a*b≤x≤a}Y={y
8、y∈L且b≤y≤aÅb}且令：f(x)=xÅb,x∈X。证明：1）X，Y是L的子格；2）f是X到Y的同构映射。答：①对任意x1,x2∈X,∵x1≤a,x2≤a∴x1*x2≤x1Åx2≤a∵a*b≤x1,a*b≤x2,∴a*b≤x1*x2≤x1Åx2即x1*x2∈X，x1Åx2∈X所以X是L的子格。（2分）②对任意y1,y2∈Y,同理可证Y是L的子格。∵y1≤aÅb,y2≤aÅb∴y1*y2≤x1Åx2≤aÅb∵b
9、≤y1,b≤y2,∴b≤y1*y2≤y1Åy2即y1*y2∈Y，y1Åy2∈Y。（2分）③对任意x∈X,∵a*b≤x≤a，xÅb≤aÅb，xÅb≥(a*b)Åb＝b，即xÅb∈Y。∴f是X到Y的单射函数。对任意y∈Y,因b≤y,有a*b≤y*a≤a,f(y*a)=(y*a)Åb=(yÅb)*(bÅa)=y*(bÅa)=y即f是满射,所以，f是双射函数。（2分）④对任意x1,x2∈X,因为f(x1*x2)=(x1*x2)Åb=(x1Åb)*(x2Åb)=f(x1)*f(x2)（2分）f(x1Åx2)=(x
