圆中有关分类讨论题类析

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1、圆中有关分类讨论题类析天津市静海县沿庄镇中学（301605）刘家良解答相对位置关系或概念外延不明确的题时，需要树立分类讨论意识，确立分类标准，做到考虑问题周全、缜密，不重不漏。现将圆中有关分类讨论题归类如下：1、点和圆的位置关系圆，将平面分成三部分，即圆外、圆上和圆内三部分，故此，点和圆的位置关系有三种：点有可能在圆外或圆上或圆内。例1已知⊙O的半径为5，AB是弦，P是直线AB上的一点，PB=3，AB=8，则OP长为（）。分析与解：点P有可能在线段AB上，也有可能在线段AB的延长线上。如图1、2，作OM⊥AB于点M，

2、则AM=BM=AB=4，PM=1（或7）。在Rt△AOM中，由勾股定理得OM=3，在Rt△POM中，由勾股定理得OP=。2、圆内接三角形和圆心的位置关系有三种情形：圆心有可能在圆内接三角形的内部（锐角三角形），也有可能在圆内接三角形的外部（钝角三角形），也有可能在圆内接三角形的一边上（直角三角形）。例2⊙O内接△ABC，若∠BOC=110°，求∠A=？分析与解：△ABC有可能为锐角三角形，也有可能为钝角三角形，如图3，∠A1=∠BOC=55°，∠A2=180°-∠A1=125°。即∠A=55°或125°。3、圆周角和

3、圆心的位置关系求圆周角时，圆心有可能在圆周角的内部，也有可能在圆周角的外部，也有可能在圆周角的一边上。例3在⊙O中，弦AB和AC构成∠BAC=48°，M、N分别是AB和AC的中点，求∠MON。分析与解：如图4、5，∵M、N分别是AB和AC的中点，∴OM⊥AB，ON⊥AC。∴∠MON=180°-∠BAC=132°或∠MON=∠BAC=48°。即∠MON=132°或48°。4、两条平行弦之间的位置关系有两种情形：这两条平行弦有可能在圆心的异侧，还有可能在圆心的同侧。例4在⊙O中，弦AB=6，弦CD=8，且AB∥CD，若⊙

4、O的半径为5，求AB与CD之间的距离。分析与解：如图6、7，作OM⊥AB于点M，OM（或MO延长线）交CD于点N，连结OB、OC，则AM=BM=AB=3，∵AB∥CD，∴ON⊥CD，CN=DN=CD=4，由勾股定理得OM=4，ON=3，∴MN=1或7。5、弦和圆周角的位置关系一条弦所对的弧既有优弧又有劣弧，因此，求一条弦所对的圆周角应考虑到两种情形：优弧和劣弧所对的圆周角，并且这两类圆周角互补。例5在半径为5cm的圆内有一条长为5cm的弦，则此弦所对的圆周角等于（）。分析与解：如图8，作OM⊥AB于点M，连结OA、O

5、B，则AM=BM=AB=。在Rt△AOM中，由勾股定理得OM=，∴∠OAM=30°，∠AOM=60°。∵∠ACB=∠AOB，∠AOM=∠AOB，，∴∠ACB=∠AOM=60°，∵∠ACB+∠ADB=180°，∴∠ADB=120°。∴此弦所对的圆周角等于60°或120°。6、两点弧上所含的圆周角圆周角的顶点有可能在优弧上还有可能在在劣弧上。例6若PA、PB分别切⊙O于点A、B，C为⊙O上不同于A、B的一点，∠P=70°，求∠ACB。分析与解：如图9，连结OA、OB，则∠PAO=∠PBO=90°，∴∠AOB=110°，∴

6、∠AC1B=∠AOB=55°，∠AC2B=180°-∠AC1B=125°。即∠ACB=55°或125°。7、两圆相切有外切和内切两种情形。例7若两个同心圆的半径分别为6cm和2cm，则与这两圆都相切的圆的半径为cm。分析与解：第三个圆与这个两圆都相切，分两种情形，其一，与大圆、小圆都内切，如图10；其二，与大圆内切，与小圆外切，如图11。设与这两圆都相切的圆的半径为xcm，得6-x=x-2或6-x=2+x，解得x=4或x=2。即与这两圆都相切的圆的半径为4cm或2cm。例8（2009年重庆市江津区）如图11，在10×

7、6的网格图中(每个小正方形的边长均为1个单位长)。⊙A半径为2，⊙B半径为1，需使⊙A与静止的⊙B相切，那么⊙A由图示的位置向左平移个单位长.分析：⊙A从右向左运动，与静止的⊙B相切，依次是外切、内切、内切和外切。解：⊙A由图示的位置依次向左平移2（5-3）个、4（5-1）个、6（5+1）个、8（5+3）个单位长.Email：yzliujialiang@126.com手机号：13752433464