理论力学第二讲

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1、通知根据学院教学工作安排，接下来两周每周4学时，即：本周四（3月2日）上午第3－4节上课，第四周的周四（3月16日）上课。望周知。21质点系和主要定理、定律一．质点系动力学：研究物体的机械运动与作用力之间的关系质点：具有一定的几何形状而几何尺寸大小可以忽略不计的物体例：一滴水：分子量：18，假设：直径:,则体积质量，阿伏伽德罗常数：水滴中拥有的水分子：质点系：由几个或无限多个相互有联系（相互作用）的质点所组成的系统。例：固体、流体、太阳系等，刚体是质点系的一种特殊情况，其中任意两个指点之间的距离保持不变，------------不变的质点系！21例：质点被约束在一个光滑的平面上

2、运动，质点上系着一根长度为的轻绳，绳子穿过平面上的小孔，另一端系着质量为的指点，讨论质点的运动情况解：（1）取柱坐标：对于指点其运动方程为：为绳子的张力未知约束方程：对有运动方程：解得：21质点系的性质：（1）不能简单地由所讨论问题的质点数目来决定（2）根据物体（质点间）的相互作用性质来决定例如：太阳系中，只考虑太阳和地球，忽略其他行星的相互作用，以及太阳本身的运动，在考虑地球运动时，地球之受到太阳的作用力，而地球对太阳的作用力忽略不计，因此，地球就可以看作是只受到外力的质点，这样，该运动就是单质点的运动。若这种作用是相互的，则构成质点系！（3）体系和外界的划分是相对的，（4）

3、内力：质点系内部各质点之间的相互作用力外力：来自质点系以外，对于质点系个质点的作用力质点系的运动微分方程：3个质点受到5个约束，则方程的个数为：：第个质点；：第个质点受到的力（合力）个独立的方程。个约束条件，个未知的约束力，未知量为需要独立的方程个数为21对14个二阶联立微分方程进行求解，非常困难！牛顿动力学范围内，运用系统的动量定理、角动量定理、能量定理是解决该困难的一种方法。上述这3个定理是描述系统整体的物理标示量的变化规律，虽然不能给出体系内部的详细情况，但能够给出一些简洁的系统规律。牛顿第二定律一．动量定理、角动量定理、能量定理1．质点的动量定理或动量定理质点动量的变化

4、率等于质点所受到的力21质点系的动量定理设：个质点组成质点系，第个质点的动量为：；受到的内力为：，外力为，由牛顿第二定律：定义其中：是第j个质点对第i个质点的作用力由牛顿第三定律：所以21则质点系动量的变化率等于体系所受到的合外力若，则：质点系动量守恒定律有时质点系得合外力不为零，但某一个方向上合力为零，在在这个方向上的动量为常量。如：则21质心：质心的速度质点系的运动可以用质心的运动来表示，而质心的运动就像质点的运动一样该质点的质量等于质点系的质量，作用在该质点上的力等于作用在质点系上的合外力质心运动定理211．角动量定理质点角动量定理：角动量：对上式微分：：力矩质点角动量的

5、变化率等于质点所受到的力矩质点系角动量定理：角动量：对上式微分：21对上式中，对于任意一项，一定存在着对应的项，因为一般情况下，与是平行的，所以21质点系的角动量变化率等于作用在质点系上的所有外力矩的和，与体系内部的相互作用无关。若外力矩则角动量守恒定律以上的讨论都是对坐标原点进行的，若对于坐标中任意一点P，上述讨论仍然成立。是第i个质点对P点的矢量对原点的角动量：21对原点的力矩：将上式代入：中左端所以：21（1）若P点是惯性系中的固定点，，则：，（2）若，角动量定理则不同，但是若和在运动中永远平行，则，即（3）若P点是质心：对于质心：则对于质心系：Oxyz惯性系；Cx’y’

6、z’质心系这里的与中的不同。21虽然两者都是对C点来说的，但是，中的是质心系中第i个质点的速度；中的则是惯性系中第i个质点的速度。一般情况下，和是不同的，因而，和也就不同，但是我们可以证明这两个量是相等的因为：，；由定义得：质心系中的质心矢量显然为零，所以，质心系中的角动量定理与惯性系中角动量定理具有相同的表达形式21一．能量定理：质点的能量定理：对时间微分：作用在质点上的力所做的功等于质点动能的增加也可以做如下推导：两端同时乘以21注意：质点系动能定理：质点系的动能的增加等于外力和内力所作的功之和-----动能定理质心系动能定理：（1）惯性系中动能与质心系中动能的关系：21右

7、端=质心系中的动能定理与惯性系中动能定理具有相同的表述21保守力所作的功一般情况下，该积分与路径有关，若：保守力的条件：21212121