圆锥与圆柱体积复习

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1、【典型例题】【例1】如右图所示，圆锥形容器中装有5升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，这个容器还能装多少升水？分析与解：本题的关键是要找出容器上半部分的体积与下半部分的关系。设圆锥容器的底面积半径为r，则水面半径为。容器的容积为，容器中水的体积为。解：这表明容器可以装8份5升水，已经装了1份，还能装水5×（8－1）=35（升）。【例2】比较甲、乙两只容器中，哪一只容器盛的水多，多的是少的几倍？（单位：厘米）（1）容器如图1所示；（2）甲、乙两容器相同（如图2），甲容器中水的高度是锥高的，乙容器中水的高度是圆锥高的。分析与解（1

2、）要想知道甲、乙两只容器哪一只盛的水多，我们只需依据条件分别计算一下甲、乙两只容器的容积各是多少，即可做出比较。　　通过计算可知，乙容器装的水多，乙容器是甲容器容积的（4000π÷2000π=）2倍。（2）我们先分别将两容器内水的体积进行计算。设圆锥的底面半径为r，高为h，则甲容器及乙容器中的水面半径均为，甲容器中无水部分椎体高位，而乙容器中有水部分椎体的高为，分别用、表示两容器中水的体积，则有：由此可知，甲容器中的水多，甲容器中的水是乙容器中的水的倍。【例3】将一个棱长是20厘米的正方体，旋成一个圆柱体，并且使圆柱体的体积最

3、大，求此时旋去的那部分体积。分析与解要想知道旋去的那部分体积，我们应首先认识清楚，怎样才能使旋成的圆柱体体积最大？通过分析可以发现，当我们所旋成的圆柱体的底面直径和高均为20厘米时，圆柱的体积最大.即如图3去旋.此时，我们只需计算出正方体的体积及所得到的圆柱体的体积，其差就是所旋去部分的体积。　　　　即：旋去的部分的体积约为1720立方厘米。【例4】如图4中所示图形是一个底面直径是20厘米的装有一部分水的圆柱形容器，水中放着一个底面直径为12厘米，高为10厘米的圆锥体铅锤，当铅锤从水中取出后，容器中的水下降了几厘米？分析与解因

4、为玻璃容器是圆柱形的，所以铅锤取出后，水面下降部分实际是一个小圆柱，这个圆柱的底面与玻璃容器的底面一样，是一直径为20厘米的圆，它的体积正好等于圆锥体铅锤的体积.这个小圆柱的高就是水面下降的高度。因为铅锤的体积为：　　设水面下降的高度为x厘米，则小圆柱的体积为：　V2=π×(20÷2)2×x=100πx（立方厘米）　根据小圆柱的体积等于铅锤的体积有：　120π=100π·x解此方程得：　x=1.2（厘米）答：铅锤取出后，容器中的水面下降了1.2厘米。【例5】横截面直径为20厘米的一根圆钢，截成两段后，两段表面积的和为7536平

5、方厘米，求原来那根圆钢的体积是多少（π=3.14）？分析与解根据圆柱体的体积公式，体积等于底面积乘以高.由于底面直径已经知道，故只需依据条件求出圆钢的长度.假设圆钢长为x厘米，由于将圆钢截成两段后，两段表面积的和等于圆钢的侧面积加上四个底面圆的面积，所以有下面的式子：　　2π×（20÷2）×x+4π×（20÷2）2=20πx+400π　依据题中给出的已知条件，可得方程：20πx+400π=7536　　解方程：　　圆钢的体积为：　　π×（20÷2）2×100≈31400（立方厘米）答：原来那根圆钢的体积约为31400立方厘米。【

6、例6】用一块长30厘米，宽20厘米的长方形铁皮做圆柱形容器的侧面，再用另一块铁皮做底，怎样做才能使这个圆柱形容器的容积最大？分析与解我们要回答上述问题，实际上只需考虑两个方面，即以长方形的长做为圆柱形容器的高，还是以长方形的宽做为圆柱形容器的高？比较两种情况下圆柱形容器的体积，即可确定方案。　　若以长方形的长为高，则长方形的宽即为圆柱形容器的底面周形，所以圆柱形容器的底面半径为：　　　　此时容器的容积为：　　若以长方形的宽为高，则长方形的长即为圆柱形容器的底面周长，此时，圆柱形容器的底面半径为：　　　　通过上述计算，我们可以知

7、道，用长方形较短的一边做为圆柱形容器的高时，圆柱形容器的容积大。【例7】将一个底面半径为20厘米、高27厘米的圆锥形铝块，和一个底面半径为30厘米、高20厘米的圆柱形铝块，熔铸成一底面半径为15厘米的圆柱形铝块，求这个圆柱形铝块的高。解：被熔的圆锥形铝块的体积：　　　　被熔的圆柱形铝块的体积：π×302×20=18000π（厘米3）。　　熔成的圆柱形铝块的高：（3600π＋18000π）÷（π×152）=21600π÷225π=96（厘米）。答：熔铸成的圆柱体高96厘米。【例8】皮球掉进一个盛有水的圆柱形水桶中。皮球的直径为1

8、5厘米，水桶底面直径为60厘米。皮球有的体积浸在水中。问：皮球掉进水中后，水桶中的水面升高了多少厘米？解：皮球的体积是　　水面升高的高度是450π÷900π＝0.5（厘米）。　答：水面升高了0.5厘米。【解题在于实践】［一］有大、小两种不带盖的圆柱水桶，它们的表面积的和是54