2.2.3 向量数乘运算及其几何意义（修改）

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1、2.2.3向量数乘运算及其几何意义2.2平面向量的线性运算第二章平面向量复习1:向量的加法BA如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.bao.O.Ca+bbaABba+ba复习2:向量的减法o.BAa-b如图,已知向量a和向量b,作向量a-b.aba-bo.BAab1、判断题：（1）相反向量就是方向相反的向量（2）（3）（4）在△ABC中，必有（5）若，则A、B、C三点必是一个三角形的三个顶点。（错）（对）（错）（错）（对）2、填空题：=ABCD++(-)(-)(-)-ABCD++＝探究:OAPB思考:相同向量相加

2、以后，和的长度与方向有什么变化？-a如图,已知向量a,作向量a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)..aa-aaa-aOA=a+a+aPB=(-a)+(-a))+(-a)=3a=-3a-a二、向量的数乘运算思考1：对于向量a（a≠0）和b，若存在实数λ，使b=λa，则向量a与b的方向有什么关系？思考2：若向量a（a≠0）与b共线，则一定存在实数λ，使b=λa成立吗？思考3：综上可得向量共线定理：向量a（a≠0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b=λa.若a＝0，上述定理成立吗？思考4：若存在实数λ，使，则A

3、、B、C三点的位置关系如何？思考5：如图，若P为AB的中点，则与、的关系如何？ABPO定义:特别地，当λ=0或a=0时,λa=0(2)方向当λ>0时,λa的方向与a方向相同；当λ<0时,λa的方向与a方向相反；(1)长度

4、λa

5、=

6、λ

7、·

8、a

9、一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘运算，记作λa。它的长度和方向规定如下：几何意义：将的长度扩大（或缩小）倍，改变（不改变）的方向，就得到了λa

10、λ

11、aa二、向量的数乘运算数乘向量的几何意义数乘向量的几何意义就是把向量沿的方向或反方向放大或缩短.若,

12、当沿的方向放大了倍.当沿的方向缩短了倍.当,沿的反方向放大了倍.当沿的反方向缩短了倍.由其几何意义可以看出用数乘向量能解决几何中的相似问题.三、向量的数乘运算满足如下运算律：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算解:(1)原式=(2)原式=(3)原式=(3-2-1)a+(3+2)b=5b(2-3)a+(3+2)b+(-1-1)c=-a+5b-2c-12a四、例题解析：2b3babO例2如图，已知任意两个非零向量a，b，试作=a＋b，=a＋2b，=a＋3b.你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？abAB

13、C例3如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且=a，=b，试用a,b表示向量、、、MABDCab二、定理的应用：1.证明向量共线2.证明三点共线:AB=λBCA,B,C三点共线3.证明两直线平行:AB=λCDAB∥CDAB与CD不在同一直线上直线AB∥直线CD课堂小结：一、①λa的定义及运算律②向量共线定理(a≠0)b=λa向量a与b共线