基本概念和重要结果

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1、一．基本概念和重要结果1．Binet-Cauchy公式设矩阵ABC，则mnnmmm（1）当mn时

2、C

3、0；（2）当mn时

4、C

5、

6、A

7、

8、B

9、；12mi1i2im（3）当mn时

10、C

11、ABi1i2im12m2．矩阵秩之间的关系(1)设矩阵ABC，则r(A)r(B)nr(C)min{r(A),r(B)}snnmsm特别若

12、A

13、≠0，则r(B)r(C)，若AB=0，则r(A)r(B)r(C)；(2)r(AB)r(A)r(B),r(AB)r(A)r(B),(3)设A为m×n矩阵，r(A)r，则A的任意s行组成的组

14、成的矩阵B有r(B)rsm；AB1(4)设A可逆，则r()r(A)r(DCAB)；CDA0(5)设M，则r(M)r(A)r(B)；0Bn,当秩(A)n,(6)秩（A)1,当秩(A)n1,；0,当秩(A)n1.(7)设A与B是行数相同的矩阵，则r(A,B)r(A)r(B)(8)若AX=0与BX=0同解，则r(A)r(B)(9)r(A)r(AA)r(AA)；nm(10)r(A)r(A),mn,A是n阶方阵；(11)矩阵A有一个r阶子式不为零，而所有加边子式为零，则r(A)r；(12)若AA,A

15、的一个r阶主子式不为零，r+1阶和r+2阶加边主子式为零，则r（A）=r；(13)若G为列满秩矩阵，H为行满秩矩阵，则r(GA)r(AH)r(A)；(14)r(ABC)r(AB)r(BC)r(B)。3．可换矩阵12⑴设A，当ij，若AB=BA，则B是对角矩阵；ijn⑵A与所有对角形矩阵可换当且仅当A是对角形矩阵；⑶n阶方阵A与所有n阶矩阵可换当且仅当AE；n⑷n阶方阵A与所有n阶可逆矩阵可换当且仅当AE；n1En1E2n2⑸设A，ij当ij，EsnsB1B2若AB=B

16、A，则B，其中B是n阶方阵；iiBs1b1b2b3bn1b1b2bn1⑹设A，若AB=BA，则B；1bb12b1⑺若AB=BA，则对任意一个多项式f(),有f(A)BBf(A)；11⑻若A，AB=BA，则B是A的多项式。14．乘法与变换初等矩阵与初等变换：初等矩阵P(i,j);P(i(c));P(i,j(k))满足1111P(i,j)P(i,j);P(i(c))P(i(c);P(i,j(k))P(i,j(

17、k))⑴P(i,j)AA的第i行与第j行互换：⑵P(i(k))AA的第i行乘以k：⑶P(i,j(k))AA的第j行乘以k加到第I行：12⑷BAA的各行依次乘以,,,；12nnA1A2A1A2ErA1A1A20A2⑸E,0A,A，，rAA12AA0AAAEA3434334r4A1A20,EA,A去掉后n-r行（列）或者去掉前n-r行（列）。r34AA3401A200

18、A1A101A310A1⑹A2A2，A201An10AnAn0010An10101A,A,,A0,A,A,,A；12n12n1010010A,A,,AA,A,,A,0；12n23n10101A21A3A1A2⑺1Ar；00

19、An001a11a12a1nan1an2ann1a21a22a2nan11an12an1n⑻=1an1an2anna11a12a1na11a12a1n1a1na1n1a11a21a22a2n1a2na2n1a21=