2013届高三数学二轮复习9.2数形结合思想

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1、理解数形结合是高中数学的重要思想方法．会运用数形结合思想方法解决问题．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决数学问题，往往事半功倍．数形结合的重点是研究“以形助数”，其中主要有两种主要的应用方向：第一是直接将代数问题转化为几何问题，解决几何问题后将其还原为代数问题的答案；第二是在解题过程中，画出图形，并依据图形信息的直观启示，探索修正解题思路与解题过程．数形结合作为一种重要的思想方法，已经渗透至数学的每一分支中．在高考试题中，大部分问题都可以用到这种思想方法，无论是选择题、填空题还是解答题．它属于高考重点考查的内容，2012年的高考仍将会作为重要的数学思想方法加以

2、考查．高考试题对数形结合的考查主要涉及：(1)考查集合及其运算问题——韦恩图与数轴；(2)考查用函数图象解决有关问题(如方程、不等式问题)；(3)考查运用向量解决有关问题；(4)考查三角函数图象及应用；(5)数轴及直角坐标系的广泛应用；(6)数学概念及数学表达式几何意义的应用；(7)解析几何中的数形结合．1．数形结合思想的含义(1)所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法．数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的

3、有机结合．这种思想方法体现在解题中，就是在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐统一，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决．(2)数形结合包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．2．数形结合的途径(1)通过坐标

4、系“形”“题”“数”解借助于建立直角坐标系、复平面可以将图形问题代数化．这一方法在解析几何中体现的相当充分(在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考查的)．值得强调的是，形题数解时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧(这是因为三角公式的使用，可以大大缩短代数推理)．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义．如等式(x－2)2＋(y－1)2＝4.(2)通过转化构造数题形解许多代数结构都有着对应的

5、几何意义，据此，可以将数与形进行巧妙地转化．例如，将a>0与距离互化，将a2与面积互化，将a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2

6、a

7、

8、b

9、cosθ(θ＝60°或θ＝120°)与余弦定理沟通，将a≥b≥c>0且b＋c>a中的a、b、c与三角形的三边沟通，将有序实数对(或复数)和点沟通，将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等．这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形(平面的或立体的)．另外，函数的图象也是实现数形化的有效工具之一，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常相伴而充分地发挥作用．[例1](1)已知函数f(x)满足下面关系：①f(x＋1)＝f(x

10、－1)；②当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，则方程f(x)＝lgx解的个数是()A．5B．7C．9D．10[答案](1)C(2)D[解析](1)由题意可知，f(x)是以2为周期，值域为[0,1]的函数．又f(x)＝lgx，则x∈(0,10]，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数．又∵lg10＝1，故当x>10时，无交点．∴由图象可知共9个交点．(2)∵f(x)为奇函数，∴f(x)－f(－x)＝2f(x)画出y＝2f(x)的大致图象．如图，则f(x)与x异号的区间如图阴影所示，∴解集为(－1,0)∪(0,1)，故选D.[评析](1)用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、

11、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数．(2)解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决不等式的解的问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答．(3)函数的单调性经常联系函数图象的升、降；奇偶性经常联系函数