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时间:2019-06-18
《2013届高三数学二轮复习9.2数形结合思想》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、理解数形结合是高中数学的重要思想方法.会运用数形结合思想方法解决问题.纵观多年来的高考试题,巧妙运用数形结合的思想方法解决数学问题,往往事半功倍.数形结合的重点是研究“以形助数”,其中主要有两种主要的应用方向:第一是直接将代数问题转化为几何问题,解决几何问题后将其还原为代数问题的答案;第二是在解题过程中,画出图形,并依据图形信息的直观启示,探索修正解题思路与解题过程.数形结合作为一种重要的思想方法,已经渗透至数学的每一分支中.在高考试题中,大部分问题都可以用到这种思想方法,无论是选择题、填空题还是解答题.它属于高考重点考查的内容,2012年的高考仍将会作为重要的数学思想方法加以
2、考查.高考试题对数形结合的考查主要涉及:(1)考查集合及其运算问题——韦恩图与数轴;(2)考查用函数图象解决有关问题(如方程、不等式问题);(3)考查运用向量解决有关问题;(4)考查三角函数图象及应用;(5)数轴及直角坐标系的广泛应用;(6)数学概念及数学表达式几何意义的应用;(7)解析几何中的数形结合.1.数形结合思想的含义(1)所谓数形结合,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法.数形结合思想通过“以形助数,以数辅形”,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质,它是数学的规律性与灵活性的
3、有机结合.这种思想方法体现在解题中,就是在处理数学问题时,能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来思索,促使抽象思维和形象思维的和谐统一,通过对规范图形或示意图形的观察分析,化抽象为直观,化直观为精确,从而使问题得到解决.(2)数形结合包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形:一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数作为目的,比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质;二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.2.数形结合的途径(1)通过坐标
4、系“形”“题”“数”解借助于建立直角坐标系、复平面可以将图形问题代数化.这一方法在解析几何中体现的相当充分(在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考查的).值得强调的是,形题数解时,通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧(这是因为三角公式的使用,可以大大缩短代数推理).实现数形结合,常与以下内容有关:①实数与数轴上的点的对应关系;②函数与图象的对应关系;③曲线与方程的对应关系;④以几何元素和几何条件为背景,建立起来的概念,如复数、三角函数等;⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义.如等式(x-2)2+(y-1)2=4.(2)通过转化构造数题形解许多代数结构都有着对应的
5、几何意义,据此,可以将数与形进行巧妙地转化.例如,将a>0与距离互化,将a2与面积互化,将a2+b2+ab=a2+b2-2
6、a
7、
8、b
9、cosθ(θ=60°或θ=120°)与余弦定理沟通,将a≥b≥c>0且b+c>a中的a、b、c与三角形的三边沟通,将有序实数对(或复数)和点沟通,将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等.这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形(平面的或立体的).另外,函数的图象也是实现数形化的有效工具之一,正是基于此,函数思想和数形结合思想经常相伴而充分地发挥作用.[例1](1)已知函数f(x)满足下面关系:①f(x+1)=f(x
10、-1);②当x∈[-1,1]时,f(x)=x2,则方程f(x)=lgx解的个数是()A.5B.7C.9D.10[答案](1)C(2)D[解析](1)由题意可知,f(x)是以2为周期,值域为[0,1]的函数.又f(x)=lgx,则x∈(0,10],画出两函数图象,则交点个数即为解的个数.又∵lg10=1,故当x>10时,无交点.∴由图象可知共9个交点.(2)∵f(x)为奇函数,∴f(x)-f(-x)=2f(x)画出y=2f(x)的大致图象.如图,则f(x)与x异号的区间如图阴影所示,∴解集为(-1,0)∪(0,1),故选D.[评析](1)用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、
11、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法,其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时,需要作适当变形转化为两熟悉的函数),然后在同一坐标系中作出两个函数的图象,图象的交点个数即为方程解的个数.(2)解不等式问题经常联系函数的图象,根据不等式中量的特点,选择适当的两个(或多个)函数,利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决不等式的解的问题,往往可以避免繁琐的运算,获得简捷的解答.(3)函数的单调性经常联系函数图象的升、降;奇偶性经常联系函数
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